Giải bài 2 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
\(a)\,\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AC'} \);
\(b)\,\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{D'D}-\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BB'}\);
\(c)\,\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{0}\).
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc hình hộp và quy tắc ba điểm.
Biến đổi các biểu thức bằng cách sử dụng các vectơ bằng nhau.
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên ta có:
\( \begin{align} & \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{B'C'}; \\ & \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D'C'}=\overrightarrow{A'B'}; \\ & \overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'} \\ \end{align} \)
a)
Ta có:
\( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}\)
Theo quy tắc hình hộp.
Cách khác: Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'} \)
b)
\(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{D'D}-\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{D'B'}\\=\overrightarrow{BD'}+\overrightarrow{D'B'}=\overrightarrow{BB'} \)
c)
\(\begin{align} & \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{C'D}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD'}+\overrightarrow{D'B'}+\overrightarrow{B'A} \\ & =\overrightarrow{AD'}+\overrightarrow{D'A}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0} \\ \end{align} \)
