Giải bài 4 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right);\)
b) \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right). \)
Hướng dẫn:
Sử dụng quy tắc ba điểm, biến đổi vectơ \(\overrightarrow {MN}\) sao cho xuất hiện các vectơ vế phải.
Vì M, N là trung điểm của AB và CD nên ta có:
\(\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ & \overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0} \\ \end{align} \right. \)
a) Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN} \\ & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{align} \right. \)
Suy ra:
\( \begin{align} & 2\overrightarrow{MN}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right)+\left( \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN} \right)+\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right) \\ & \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right) \\ \end{align} \)
b) Tương tự ta có:
\( \begin{align} & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} \\ & \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN} \\ \end{align} \)
Suy ra:
\(\begin{align} & 2\overrightarrow{MN}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB} \right)+\left( \overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN} \right)+\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right) \\ & \Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right) \\ \end{align} \)
