Giải bài 2 trang 97 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \)
b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB\bot CD\) và \(AC\bot BD\) thì \( AD\bot BC\)
Nhắc lại: Nếu hai vectơ có giá vuông góc với nhau thì tích vô hướng của nó bằng không.
Hướng dẫn: Sử dụng công thức trừ (xen điểm A) để phân tích các vectơ \(\overrightarrow{CD},\,\overrightarrow{DB},\,\overrightarrow{BC}\)
a) Ta có:
\(\begin{align} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)+\overrightarrow{AC}\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD} \right)+\overrightarrow{AD}\left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \right) \\ & =\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} \\ & =\overrightarrow{0} \\ \end{align} \)
b)
Nếu \(\left\{ \begin{aligned} & AB\bot CD \\ & AC\bot DB \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0} \\ & \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0} \\ \end{aligned} \right. \)
Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0} \)
Do vậy \(\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow AD\bot BC \)
