Giải bài 4 trang 105 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng :
a) H là trực tâm của tam giác ABC.
b) \(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\)
Gợi ý:
- Trực tâm của tam giác là giao điểm của ba đường cao.
- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
a) Vì H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) nên \(OH\bot (ABC).\)
Suy ra: \(OH\bot BC \)
Mặt khác \(OA\bot OB; OA\bot OC \Rightarrow OA\bot (OBC)\Rightarrow OA\bot BC.\)
Do vậy, \( BC\bot (OAH)\Rightarrow AH\bot BC\) (1)
Tương tự ta cũng có: \(OH\bot AC.\)
\(BO\bot (OAC)\Rightarrow BO\bot AC\)
\(\Rightarrow AC\bot (OBH)\Rightarrow BH\bot AC\) (2)
Từ (1) và (2), ta có: H là trực tâm tam giác ABC.
b) Gọi A’ là giao điểm của AH và BC.
Vì \(BC\bot \left( OAH \right)\Rightarrow BC\bot OA' \)
Xét tam giác OAA’vuông tại O có \(OH\bot AA'\), ta có:
\(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{OA{{'}^{2}}} \) (3)
Trong tam giác OBC vuông tại O có \(OA'\bot BC\) , ta có:
\(\dfrac{1}{OA{{'}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\) (4)
Từ (3) và (4) ta được điều phải chứng minh.
