Giải bài 4 trang 122 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bài hình vuông cạnh bằng 1, nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là \(1, 2, 3,…, n,…,\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. (hình dưới).
Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể diễn ra vô hạn.
a. Gọi \(u_n\) là diện tích hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \( u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\).
b. Tính \(\lim S_n\) với \(S_n = u_1 + u_2 + u_3 +…+ u_n\).
a) Ta có:
\(u_1=\dfrac{1}{4};\,\,u_2=\dfrac{1}{4^2};\,\,u_3=\dfrac{1}{4^3};...;u_n=\dfrac{1}{4^n}\)
b) \((u_n) \) là cấp số nhân lùi vô hạn với \(u_1=\dfrac{1}{4}\) và công bội \(q=\dfrac{1}{4}\), do đó:
\(\lim S_n=\dfrac{u_1}{1-q}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}\)
