Giải bài 5 trang 145 SGK giải tích nâng cao 12
Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right)=\dfrac{9{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}\) (Hướng dẫn \(u=1-{{x}^{3}}\));
b) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{5x+4}}\) (Hướng dẫn \(u=5x+4\));
c) \(f\left( x \right)=x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}\) (Hướng dẫn \(u=1-{{x}^{2}}\));
d) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}\) (Hướng dẫn \(u=1+\sqrt{x}\));
a) \(\int{\dfrac{9{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}dx} \)
Đặt \(u=1-{{x}^{3}}\) \(\Rightarrow du=-3{{x}^{2}}dx\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}dx=-du\)
\(\int{\dfrac{9{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{3}}}}dx}=-\int{\dfrac{3du}{\sqrt{u}}} \\ =-6\sqrt{u}+C=-6\sqrt{1-{{x}^{3}}}+C \)
b) \(\int{\dfrac{1}{\sqrt{5x+4}}dx} \)
Đặt \(u=5x+4\) \(\Rightarrow du=5dx\Leftrightarrow dx=\dfrac{du}{5}\)
\(\int{\dfrac{1}{\sqrt{5x+4}}dx}=\dfrac{1}{5}\int{\dfrac{du}{\sqrt{u}}=\dfrac{2}{5}\sqrt{u}+C} \\ =\dfrac{2}{5}\sqrt{5x+4}+C \)
c) \(\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}dx}\)
Đặt \(u=1-{{x}^{2}}\) \(\Rightarrow du=-2xdx\Leftrightarrow xdx=\dfrac{-du}{2}\)
\(\int{x\sqrt[4]{1-{{x}^{2}}}dx}=-\dfrac{1}{2}\int{\sqrt{u}du}=-\dfrac{1}{3}\sqrt{{{u}^{3}}}+C \\ =-\dfrac{1}{3}\sqrt{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{3}}}+C \)
d) \(\int{\dfrac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}dx}\)
Đặt \(u=1+\sqrt{x}\) \(\Rightarrow du=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\Leftrightarrow 2du=\dfrac{dx}{\sqrt{x}} \)
\(\int{\dfrac{1}{\sqrt{x}{{\left( 1+\sqrt{x} \right)}^{2}}}dx}=\int{\dfrac{2du}{{{u}^{2}}}=-\dfrac{2}{u}+C} \\ =-\dfrac{2}{1+\sqrt{x}}+C \)