Giải bài 1 trang 89 – SGK môn Giải tích lớp 12
Giải các bất phương trình mũ:
a) \({{2}^{-{{x}^{2}}+3x}}<4;\)
b) \({{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge \dfrac{9}{7};\)
c) \({{3}^{x+2}}+{{3}^{x-1}}\le 28;\)
d) \({4^x}-{{3.2}^{x}}+2>0 .\)
Hướng dẫn:
Với \(a > 1\) thì \(a^x > a^y \Leftrightarrow x >y\).
Với \(0 < a < 1\) thì \(a^x > a^y \Leftrightarrow x < y\).
a) \({{2}^{-{{x}^{2}}+3x}}<4;\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{-{{x}^{2}}+3x}}<{{2}^{2}}\\ \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+3x<2\\ \Leftrightarrow -{{x}^{2}}+3x-2<0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<1 \\ & x>2 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(S=\left( -\infty ;\,1 \right)\cup \left( 2;\,+\infty \right) \)
b) \({{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge \dfrac{9}{7};\)
\(\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{2{{x}^{2}}-3x}}\ge {{\left( \dfrac{7}{9} \right)}^{-1}}\\\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x\le -1\\\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x+1 \le 0\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\le x\le 1\)
Vậy \(S=\left[ \dfrac{1}{2};\,1 \right]\)
c) \({{3}^{x+2}}+{{3}^{x-1}}\le 28;\)
\(\Leftrightarrow {{9.3}^{x}}+\dfrac{1}{3}{{.3}^{x}}\le 28\\\Leftrightarrow \dfrac{28}{3}{{.3}^{x}}\le 28\\ \Leftrightarrow {{3}^{x}}\le 3\\\Leftrightarrow x\le 1\)
Vậy \(S=\left( -\infty ;\,1 \right]\)
d) \({4^x}-{{3.2}^{x}}+2>0 .\)
\(\Leftrightarrow {{2}^{2x}}-{{3.2}^{x}}+2>0\)
Đặt \({{2}^{x}}=t,\,\left( t>0 \right)\) bất phương trình trở thành
\({{t}^{2}}-3t+2>0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t<1 \\ & t>2 \\ \end{aligned} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{2}^{x}}<1 \\ & {{2}^{x}}>2 \\ \end{aligned} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x<0 \\ & x>1 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy \(S=\left( -\infty ;\,0 \right)\cup \left( 1;\,+\infty \right)\)