Giải bài 7 trang 127 – SGK môn Giải tích lớp 12
Xét hình phẳn D giới hạn bởi \(y=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) và \(y=2\left( 1-x \right)\).
a) Tính diện tích hình D.
b) Quay hình D xung quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của hai đường cong.
Bước 2: Tính diện tích của hình phẳng bằng công thức: \(\begin{aligned} S& =\int\limits_{a}^{b}{\left(f_1(x)-f_2(x)\right)dx} \end{aligned}\)
Tính thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y= f(x)\) và \(x= a, x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi\int\limits_{a}^{b}f^2(x)dx\)
a) Hoành độ giao điểm của hai đường là
\(\begin{aligned} & 2\sqrt{1-{{x}^{2}}}=2\left( 1-x \right) \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -1\le x\le 1 \\ & 1-{{x}^{2}}={{\left( 1-x \right)}^{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & -1\le x\le 1 \\ & {{x}^{2}}-x=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Diện tích cần tìm là
\(\begin{aligned} S &=2\int\limits_{0}^{1}{\left[ \sqrt{1-{{x}^{2}}}-\left( 1-x \right) \right]dx} \\ & =2\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}-\left( 2x-{{x}^{2}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =2I-2+1 \\ & =2I-1 \\ \end{aligned} \)
Đặt \(x=\sin t\Rightarrow dx=\cos tdt\)
Đổi cận
| x | 0 | 1 |
| t | 0 | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
\(\begin{aligned} I&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt} \\ & =\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)dt} \\ & =\left( \dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2t}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{2}} \right. \\ & =\dfrac{\pi }{4} \\ \end{aligned} \\ \Rightarrow S=\dfrac{\pi }{2}-1\,\left( \text{đvdt} \right) \)
b) Thể tích cần tìm là
\(\begin{aligned} V&=4\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| 1-{{x}^{2}}-{{\left( 1-x \right)}^{2}} \right|dx} \\ & =4\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( 2x-2{{x}^{2}} \right)dx} \\ & =4\pi .\left( {{x}^{2}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{3}} \right)\left| _{0}^{1} \right. \\ & =\dfrac{4\pi }{3}\,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)