Giải bài 57 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2
Cho tam giác \(ABC \,\,(AB < AC).\) Vẽ đường cao \(AH,\) đường phân giác \(AD,\) đường trung tuyến \(AM.\) Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \(H, \,D,\, M.\)
+ Nhận xét: \(D\) luôn nằm giữa \(H\) và \(M\)
+ Chứng minh: \(AD\) là đường phân giác của \(∆ABC.\)
\(\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{DB}{DC}\) (tính chất đường phân giác của tam giác)
Mà \(AB < AC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow DB < DC \Rightarrow DB + DC < DC + DC\)
\(\Rightarrow BD + DC < 2DC \) hay \(BC < 2DC \)
\(\Rightarrow DC > \dfrac{BC}{2}\)
Mà \(MC = \dfrac{BC}{2}\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
\(\Rightarrow DC > MC \)
\(\Rightarrow M\) nằm giữa \(D\) và \(C \,\,\,\, (1)\)
Mặt khác \(\widehat{CAH} = 90^o - \widehat{C}\) (\(∆CAH\) vuông tại \(H\))
\(\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o\) (tổng \(3\) góc \(∆ABC\))
\(\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C}}{2} - \widehat{C}\)
\(\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B} }{2}+ \dfrac{\widehat{C} }{2}-\widehat{C}\)
\(\Rightarrow \widehat{CAH} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B} }{2}- \dfrac{\widehat{C} }{2} = \dfrac{\widehat{A} }{2} + \dfrac{\widehat{B }- \widehat{C} }{2}\)
Vì \(AB < AC \Rightarrow \widehat{C } < \widehat{B } \Rightarrow \widehat{B } - \widehat{C } > 0\)
Do đó: \(\widehat{CAH } > \dfrac{\widehat{A }}{2}\)
Hay \(\widehat{CAH} > \widehat{CAD }\)
\(\Rightarrow\) Tia \(AD\) nằm giữa hai tia \(AH\) và \(AC\)
\(\Rightarrow D\) nằm giữa hai điểm \(H\) và \(C \,\,\,(2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow D\) nằm giữa \(H\) và \(M.\)
