Giải bài 59 trang 92 – SGK Toán lớp 8 tập 2

Qua \(O\) kẻ đường thẳng song song với \(AB, \,CD\) cắt \(AD, \,BC\) lần lượt tại \(E,\, F.\)
Ta có: \(OE // DC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{OE}{DC} = \dfrac{AO}{AC} \,\, (1)\)  (hệ quả của định lí Ta - lét)
\(OF // DC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow \dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BO}{BD} \,\, (2)\)  (hệ quả của định lí Ta - lét)

\(AB // DC\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD}\)   (hệ quả của định lí Ta - lét)

\(\Rightarrow \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OC}{OD} \)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{OA}{OB} = \dfrac{OA + OC}{OB + OD} = \dfrac{AC}{BD}\)

\(\Rightarrow \dfrac{OA}{AC} = \dfrac{OB}{BD} \,\,\,(3)\)

Từ \((1),\,(2)\) và \((3)\) ta có:

\(\dfrac{OE}{DC} = \dfrac{OF}{DC} \Rightarrow OE = OF\)

Ta có: \(AB//EF\) (giả thiết) áp dụng hệ quả của định lí Ta-Let ta có:

\(\dfrac{AN}{EO} = \dfrac{KN}{KO}; \,\, \dfrac{BN}{FO} = \dfrac{KM}{KO}\)

\(\Rightarrow \dfrac{AN}{EO} = \dfrac{BN}{FO}\)

\(\Rightarrow AN = BN\)

\(\Rightarrow N\) là trung điểm của \(AB\)

Tương tự ta có: \(EF // DC\) (giả thiết)

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{EO}{DM} = \dfrac{KO}{KM}\)

\(\dfrac{FO}{CM} = \dfrac{KO}{KM}\)

\(\Rightarrow \dfrac{EO}{DM} = \dfrac{FO}{CM}\)

\(\Rightarrow DM = CM\)

\(\Rightarrow M\) là trung điểm của \(CD\)

Vậy \(OK\) đi qua trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD. \)