Giải câu 3 trang 181 – Bài 38 - SGK môn Vật lý lớp 10 Nâng cao
Tìm công thức xác định các vận tốc sau va chạm đàn hồi. Quan sát và giải thích trò chơi bắn bi của trẻ em (với điều kiện bắn xuyên tâm).
* Giả sử \({m}_{1}\) và \({m}_{2}\) là khối lượng của các quả cầu, \({v}_{1}\) và \({v}_{2}\) là vận tốc của chúng trước va chạm. Ta cần tìm các vận tốc \({v}'_{1}\) và \({v}'_{2}\) sau va chạm. Lưu ý rằng \( {{v}_{1}},\text{ }{{v}_{2}},\text{ }v_{1}^{'},\text{ }v_{2}^{'} \) là giá trị đại số của các vận tốc, tất cả các vận tốc đều có cùng phương trên trục \(Ox.\)
Va chạm là đàn hồi nên có thể áp dụng cả sự bảo toàn động lượng và động năng.
Theo định luật bảo toàn động lượng :
\( {{m}_{1}}{{v}_{1}}+{{m}_{2}}{{v}_{2}}={{m}_{1}}v_{1}^{'}+{{m}_{2}}v_{2}^{'}\text{ }\left( 38.1 \right) \)
Do động năng được bảo toàn nên ta có :
\( \dfrac{{{m}_{1}}v_{1}^{2}}{2}+\dfrac{{{m}_{2}}v_{2}^{2}}{2}=\dfrac{{{m}_{1}}v_{1}^{'2}}{2}+\dfrac{{{m}_{2}}v_{2}^{'2}}{2}\text{ }\left( 38.2 \right) \)
Có thể biến đổi (38.1) thành :
\( {{m}_{1}}\left( {{v}_{1}}-v_{1}^{'} \right)={{m}_{2}}\left( {{v}_{2}}-v_{2}^{'} \right)\text{ }\left( 38.3 \right) \)
và (38.2) thành :
\( {{m}_{1}}\left( v_{1}^{2}-v_{1}^{'2} \right)={{m}_{2}}\left( v_{2}^{'2}-v_{2}^{2} \right)\text{ }\left( 38.4 \right) \)
Giả thiết rằng \( {{v}_{1}}\ne v_{1}^{'} \), khi đó có thể chia (38.4) cho (38.3) và thu được :
\( {{v}_{1}}+v_{1}^{'}={{v}_{2}}+v_{2}^{'}\text{ }\left( 38.5 \right) \)
Rút \( v_{2}^{'}={{v}_{1}}+v_{1}^{'}-{{v}_{2}} \) và thay vào (38.3), ta tính được vận tốc của từng quả cầu sau va chạm :
\( \begin{align} & v_{1}^{'}=\dfrac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{v}_{1}}+2{{m}_{2}}{{v}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ & v_{2}^{'}=\dfrac{\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right){{v}_{2}}+2{{m}_{1}}{{v}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ \end{align} \)
* Khi bắn bi thì \( {{v}_{2}}=0 \)
- Nếu bắn xuyên tâm thì : \( \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{v}_{1}^{'}=\dfrac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{\overrightarrow{v}}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ & \overrightarrow{v}_{2}^{'}=\dfrac{2{{m}_{1}}{{\overrightarrow{v}}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ \end{align} \right. \)
\(\Rightarrow\) sau khi bắn bi 2 luôn chuyển động cùng chiều bi 1
Nếu : \( {{m}_{1}}>{{m}_{2}} \) thì bi 1 chuyển động theo chiều cũ
\( {{m}_{1}}<{{m}_{2}} \) thì bi 1 chuyển động theo chiều ngược lại
\( {{m}_{1}}={{m}_{2}} \) thì bi 1 đứng lại.
- Nếu bắn không xuyên tâm thì sau va chạm, cả hai bi đều thay đổi vận tốc cả về độ lớn lẫn phương chiều.
Ghi nhớ:
- Vận tốc sau va chạm:
\( \begin{align} & v_{1}^{'}=\dfrac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right){{v}_{1}}+2{{m}_{2}}{{v}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ & v_{2}^{'}=\dfrac{\left( {{m}_{2}}-{{m}_{1}} \right){{v}_{2}}+2{{m}_{1}}{{v}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \\ \end{align} \)