Giải bài 12 trang 47 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}-4x+6\).
a) Ta có
\(f'\left( x \right)={{x}^{2}}-x-4 \\ f'\left( \sin x \right)={{\sin }^{2}}x-\sin x-4 \\ f'\left( \sin x \right)=0\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x-\sin x-4=0\\\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1\pm \sqrt{17}}{2}\notin \left[ -1;\,1 \right] \)
Vậy phương trình vô nghiệm.
b) Ta có
\(f''\left( x \right)=2x-1 \\ f''\left( \cos x \right)=2\cos x-1 \\ f''\left( \cos x \right)=0\Leftrightarrow 2\cos x-1=0\\\Leftrightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \)
c) Ta có \(f''\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=-\dfrac{17}{4};\,f\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{47}{12}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=\dfrac{1}{2}\) là
\(y=-\dfrac{17}{4}\left( x-\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{47}{12}=-\dfrac{17}{4}x+\dfrac{145}{24}\)
Ghi nhớ:
Tập giá trị của hàm \(y=\sin x\) là \( [-1;1]\)
Phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) là \(y=f'(x)(x-x_0)+y_0\)