Giải bài 2 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12
Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
a) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\)
b) \(y=\sin 2x-x\)
c) \(y=\sin x+\cos x\)
d) \(y={{x}^{5}}-{{x}^{3}}-2x+1\)
Lời giải:
a) \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=4{{x}^{3}}-4x=4x\left( {{x}^{2}}-1 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \)
\(y''=12{{x}^{2}}-4 \)
\(y''\left( 0 \right)=-4<0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=0,\,{{y}_{CĐ}}=1\)...\(y''\left( \pm 1 \right)=8>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm 1,\,{{y}_{CT}}=0\).
| b) \(y=\sin 2x-x\) |
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \)
.\(y'=2\cos 2x-1;\,y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \\ y''=-4\sin 2x \)
Với \(x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi,\, y''\left( \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \dfrac{\pi }{3}=-2\sqrt{3}<0\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}\).
Với \(x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi,\, y''\left(- \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left( -\dfrac{\pi }{3} \right)=2\sqrt{3}>0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}\).
c) \(y=sinx+cosx\)Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).
\(y'=\cos x-\sin x;\,y'=0\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \\ y''=-\sin x-\cos x \)
Với \(k=2m\,\left( m\in \mathbb{Z} \right),\,y''\left( \dfrac{\pi }{4}+2m\pi \right)=-\sin \dfrac{\pi }{4}-\cos \dfrac{\pi }{4}=-\sqrt{2}<0\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\dfrac{\pi }{4}+2m\pi ,\,m\in \mathbb{Z}\).
d) \(y={{x}^{5}}-{{x}^{3}}-2x+1\)Với \(k=2m+1\,\left( m\in \mathbb{Z} \right),\,y''\left( \dfrac{\pi }{4}+\left( 2m+1 \right)\pi \right)=\sin \dfrac{\pi }{4}+\cos \dfrac{\pi }{4}=\sqrt{2}>0\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{\pi }{4}+\left( 2m+1 \right)\pi ,\,m\in \mathbb{Z} \).
Tập xác định: \(D=\mathbb{R} \).\(y'=5{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( 5{{x}^{2}}+2 \right);\,y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1 \\ y''=20{{x}^{3}}-6x \)
\(y''\left( 1 \right)=14>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\).
\(y''\left( -1 \right)=-14<0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\).
Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc II.
1. Tìm tập xác định.
2.Tính \(f'(x)\). Giải phương trình \(f'(x)=0\) và kí hiệu \(x_i\,(i=1,2,...,n)\) là các nghiệm của nó.
3. Tính \(f''(x)\) và \(f''(x_i)\).
4. Dựa vào dấu của \(f''(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của điểm \(x_i\).
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 2: Cực trị của hàm số khác
Giải bài 1 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Áp dụng Quy tắc I, hãy...
Giải bài 2 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Áp dụng Quy tắc II, hãy...
Giải bài 3 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh hàm...
Giải bài 4 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh rằng với...
Giải bài 5 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tìm \(a\) và ...
Giải bài 6 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Xác định giá trị của...
+ Mở rộng xem đầy đủ