Giải bài 4 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12
Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\)
b) \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\)
c) \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\)
a) \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\)
Xét hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3{{x}^{2}}-6x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên \((0;\,2)\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,0)\) và \((2;\,+\infty)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=5\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=2;\,y_{CT}=1\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \)
+Bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5\) với trục hoành.
b) \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\)
Xét hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-6{{x}^{2}}+6x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số đồng biến trên \((0;\,1)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,0)\) và \((1;\,+\infty)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\,y_{CĐ}=-1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=-2\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \)
+Bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình \(-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2\) với trục hoành.
c) \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\)
Xét hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-4{{x}^{3}}+4x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;\,0)\,\text{và}\,(1;\,+\infty)\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\) và \((0;\,1)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\pm1;\,y_{CĐ}=1\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=0\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left(- {{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left( -1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(- 1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \)
+Bảng biến thiên
Số nghiệm của phương trình \(2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}\) với đường thẳng \(y=-1\).
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng \(y=-1\) tại 2 điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình \(f(x)=0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) với trục hoành.Số nghiệm của phương trình \(f(x)=g(x)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đồ thị hàm số \(y=g(x)\).