Giải bài 9 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(y=\dfrac{\left( m+1 \right)x-2m+1}{x-1}\) (\(m\) là tham số)
có đồ thị là \((G)\).
a) Đồ thị \((G)\) đi qua điểm \((0; -1)\) \(\Leftrightarrow -1=\dfrac{-2m+1}{-1}\Leftrightarrow m=0\)
b) Với \(m=0\) ta có \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\) * Sự biến thiên +) Chiều biến thiên \(y'=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne 1\) Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\,\text{và}\,\left(1;\,+\infty \right)\) +) Cực trị Hàm số đã cho không có cực trị +) Tiệm cận \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x+1}{x-1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang. \(\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{x+1}{x-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{x+1}{x-1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng. +) Bảng biến thiên
* Đồ thị Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm \((-1;\,0)\), cắt trục Oy tại điểm \((0;\,-1)\). |
c) Giao điểm của \((G)\) với trục tung là \(M\left( 0;\,-1 \right)\)
\(y'=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\Rightarrow y'\left( 0 \right)=-2\)
Phương trình tiếp tuyến của (G) tại M là \(y=-2x-1 \).
Ghi nhớ:
\(-\) Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức:
* Tìm tập xác định
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.
+) Tiệm cận: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
+) Lập bảng biến thiên
* Vẽ đồ thị hàm số
\(-\) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_o;y_o)\) có dạng\(y=f'(x_o)(x-x_o)+y_o\)