Giải bài 1 trang 88 – SGK Hình học lớp 10
Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau:
a) \(\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1\);
b) \(4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1\);
c) \(4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36\).
a) \(\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1\)
Ta có
\({{a}^{2}}=25\Rightarrow a=5\) độ dài trục lớn là \(2a = 10\),
\({{b}^{2}}=9\Rightarrow b=3\) độ dài trục bé là \(2b = 6\).
\({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=25-9=16\Rightarrow c=4 \)
Suy ra tọa độ tiêu điểm: \({{F}_{1}}\left( -4;0 \right),{{F}_{2}}\left( 4;0 \right) \)
Tọa độ các đỉnh của elip \({{A}_{1}}\left( -5;0 \right),{{A}_{2}}\left( 5;0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-3 \right),{{B}_{2}}\left( 0;3 \right) \)
b) \(4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=1\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{\dfrac{1}{4}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{\dfrac{1}{9}}=1\)
Ta có
\({{a}^{2}}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=\dfrac{1}{2}\) độ dài trục lớn là \(2a=1\);
\({{b}^{2}}=\dfrac{1}{9}\Rightarrow b=\dfrac{1}{3}\) độ dài trục bé là \(2b=\dfrac{2}{3} \).
\({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{5}{36}\Rightarrow c=\dfrac{\sqrt{5}}{6} \)
Suy ra tọa độ tiêu điểm: \({{F}_{1}}\left( -\dfrac{\sqrt{5}}{6};0 \right),{{F}_{2}}\left( \dfrac{\sqrt{5}}{6};0 \right) \)
Tọa độ các đỉnh của elip \({{A}_{1}}\left( -\dfrac{1}{2};0 \right),{{A}_{2}}\left( \dfrac{1}{2};0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-\dfrac{1}{3} \right),{{B}_{2}}\left( 0;\dfrac{1}{3} \right)\)
c) \(4{{x}^{2}}+9{{y}^{2}}=36\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}}{9}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1\)
Ta có
\({{a}^{2}}=9\Rightarrow a=3\) độ dài trục lớn là \(2a = 6, \)
\({{b}^{2}}=4\Rightarrow b=2\) độ dài trục bé là \(2b=4 .\)
\({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=9-4=5\Rightarrow c=\sqrt{5} \)
Suy ra tọa độ tiêu điểm: \({{F}_{1}}\left( -\sqrt{5};0 \right),{{F}_{2}}\left( \sqrt{5};0 \right) \)
Tọa độ các đỉnh của elip \({{A}_{1}}\left( -3;0 \right),{{A}_{2}}\left( 3;0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-2 \right),{{B}_{2}}\left( 0;2 \right) \)
Ghi nhớ: Cho elip có phương trình \(\dfrac{{{x}^{2}}}{a^2}+\dfrac{{{y}^{2}}}{b^2}=1,(a>b,a,b\ne 0)\)
Ta có \({{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\)
Độ dài trục lớn là 2a,
Độ dài trục bé là 2b.
Tọa độ tiêu điểm: \({{F}_{1}}\left( -c;0 \right),{{F}_{2}}\left( c;0 \right) \)
Tọa độ các đỉnh của elip \({{A}_{1}}\left( -a;0 \right),{{A}_{2}}\left( a;0 \right),{{B}_{1}}\left( 0;-b \right),{{B}_{2}}\left( 0;b \right) \)