Giải bài 3 trang 88 – SGK Hình học lớp 10
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Elip đi qua các điểm \(M(0;3)\) và \(N\left( 3;\dfrac{-12}{5} \right).\)
b) Một tiêu điểm là \({{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right)\) và điểm \(M\left( 1;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\) nằm trên elip.
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1 \)
a) Do elip đi qua các điểm \(M(0;3)\) và \(N\left( 3;\dfrac{-12}{5} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{9}{{{b}^{2}}}=1 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}+\dfrac{\dfrac{144}{25}}{{{b}^{2}}}=1 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}+\dfrac{16}{25}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & \dfrac{9}{{{a}^{2}}}=\dfrac{9}{25} \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=9 \\ & {{a}^{2}}=25 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Do đó ta có phương trình chính tắc của elip là \(\dfrac{{{x}^{2}}}{25}+\dfrac{{{y}^{2}}}{9}=1. \)
b) Vì một tiêu điểm là \({{F}_{1}}\left( -\sqrt{3};0 \right)\) nên \(c=\sqrt{3}\)
Suy ra \({{a}^{2}}-{{b}^{2}}={{c}^{2}}=3\) (1)
Vì điểm \(M\left( 1;\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\) nằm trên elip nên \(\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{3}{4{{b}^{2}}}=1\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}+3{{a}^{2}}=4{{a}^{2}}{{b}^{2}}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=3 \\ & 3{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}-4{{a}^{2}}{{b}^{2}}=0 \\ \end{aligned} \right. \)
\(\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=3+{{b}^{2}} \\ & -4{{b}^{4}}-5{{b}^{2}}+9=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=3+{{b}^{2}} \\ & \left[ \begin{aligned} & {{b}^{2}}=1 \\ & {{b}^{2}}=-\dfrac{9}{4}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{a}^{2}}=4 \\ & {{b}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Do đó ta có phương trình chính tắc của elip là \(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+\dfrac{{{y}^{2}}}{1}=1. \)
Ghi nhớ: Muốn lập phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:
Bước 1: Giả sử phương trình chính tắc của elip có dạng \(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\) .
Bước 2: Dựa vào các dữ kiện tìm \(a^2, b^2\).
Bước 3: Kết luận.