Giải bài 3 trang 71 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\).
a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((BDA’)\) và \((B’D’C)\) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo \(AC’\) đi qua trọng tâm \(G_1\) và \(G_2\) của hai tam giác \(BDA’\) và \(B’D’C.\)
c) Chứng minh \(G_1\) và \(G_2\) chia đoạn \(AC’\) thành ba phần bằng nhau.
d) Gọi \(O\) và \(I\) lần lượt là tâm của các hình bình hành\( ABCD\) và \(AA’C’C\). Xác định thiết diện của mặt phẳng \((A’IO)\) với hình hộp đã cho.
Gợi ý:
- Để chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
a) Ta có: BB’D’D và A’B’CD là các hình bình hành nên:
\(\left\{ \begin{aligned} & BD//B'D' \\ & A'D//B'C \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra, hai mặt phẳng \((BDA’)\) và \( (B’D’C)\) có các cặp đường thẳng cắt nhau và song song từng đôi một nên chúng song song.
Vậy \((BDA’)//(B’D’C)\)
b) Gọi \(O, O’, I\) lần lượt là tâm của hai hình bình hành \(ABCD, A’B’C’D’, ACC’A’.\)
Xét tam giác \( A’BD\) có \(G_1\) là trọng tâm tam giác.
Vì O là trung điểm của \(AC\) nên \(A’O\) là trung tuyến suy ra: \( \dfrac{A'{{G}_{1}}}{A'O}=\dfrac{2}{3}\)
Xét tam giác \(AA’C\) có: I là trung điểm của \(A’C\) nên \(AI\) là tiếp tuyến.
Do vậy, \( G_1\) thuộc AI và \(\dfrac{A{{G}_{1}}}{AI}=\dfrac{2}{3} \)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(G_2\) thuộc \(C’I.\)
Vậy \(G_1, G_2\) thuộc \(AC’\) và \( \dfrac{C{{G}_{2}}}{C'I}=\dfrac{2}{3}\)
c)
Theo câu trên, ta có:
\(\begin{aligned} & \dfrac{A{{G}_{1}}}{{{G}_{1}}I}=\dfrac{C'{{G}_{2}}}{{{G}_{2}}I}=\dfrac{2}{1} \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & A{{G}_{1}}=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{1}{3}AC' \\ & C'{{G}_{2}}=\dfrac{2}{3}C'I=\dfrac{1}{3}C'A \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow A{{G}_{1}}={{G}_{1}}{{G}_{2}}={{G}_{2}}C' \\ \end{aligned} \)
d) Ta có: \(\left( A'IO \right)\equiv \left( AA'C'C \right) \)
Nên \((A’IO)\) cắt hình hộp theo thiết diện là \(AA’C’C\).