Giải bài 6 trang 92 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(3x+5y-z-2=0\) và đường thẳng d có phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x=12+4t \\ & y=9+3t \\ & z=1+t \\ \end{aligned} \right. \)
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
Bước 1: Lấy tọa độ điểm M thuộc đường thẳng.
Bước 2: Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
a) Lấy \(M\left( 12+4t;9+3t;1+t \right)\in d \), vì \(M\in \left( \alpha \right) \) nên
\(3\left( 12+4t \right)+5\left( 9+3t \right)-1-t-2=0 \\ \Leftrightarrow 26t+78=0 \\ \Leftrightarrow t=-3 \\ \Rightarrow M\left( 0;0;-2 \right) \)
b) Ta có \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 4;3;1 \right)\)
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}\)
Phương trình \(\left( \beta \right)\) là
\(4x+3y+z+2=0\)