Giải bài 65 trang 100 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi \(E,\, F, \,G, \,H\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA.\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì? Vì sao?
Ta có \(EB = EA,\, FB = FC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(ΔABC\)
\(\Rightarrow EF // AC\)
Lại có: \(HD = HA,\, GD = GC\) nên \(HG\) là đường trung bình của \(ΔADC\)
\(\Rightarrow HG // AC \Rightarrow EF // HG. \)
Tương tự \(EH // FG\)
\(\Rightarrow EFGH\) là hình bình hành \( (1)\)
Mà \(EF // AC\) và \(BD \bot AC \)
\(\Rightarrow BD \bot EF\) (định lí từ vuông góc đến song song)
\(E\) và \(H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\, AD\)
\(\Rightarrow EH\) là đường trung bình của \(ΔABD\)
\(\Rightarrow EH // BD\)
Mà \(BD \bot EF\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow EH \bot EF\) hay \(\widehat{HEF} = 90^o \,\,(2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật
Lưu ý: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.