Giải bài 76 trang 106 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh của một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật
Xét hình thoi \(ABCD,\) gọi \(E,\,F,\,G,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB, \,BC,\,CD,\,AD.\)
Ta có: \(EB = EA,\, FB = FC\) (giả thiết)
Nên \(EF\) là đường trung bình của \(ΔABC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow EF // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(HD = HA,\,GD = GC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow HG\) là đường trung bình của \(ΔADC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow HG // AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow EF // HG\) (cùng \(// AC\)) \((1)\)
Ta có: \(EB = EA,\,AH = HD\) (giả thiết)
\(\Rightarrow EH\) là đường trung bình của \(ΔABD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow EH // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(BE = FC,\,GD = GC\) (giả thiết)
\(\Rightarrow FG\) là đường trung bình của \(ΔBDC\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow FG // BD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\(\Rightarrow EH // FG\) (cùng \(// BD\)) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow EFGH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Lại có \(EF // AC\) (chứng minh trên)
\(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi)
\(\Rightarrow EF \bot EH\\ \Rightarrow \widehat{FEH} = 90^o\)
Hình bình hành \(EFGH\) có \(\widehat{E} = 90^o\) nên là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Lưu ý:
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.