Bất đẳng thức - Đại số toán lớp 10
1. Ôn tập bất đẳng thức
1.1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "\(a> b\) " hoặc "\(a< b\) " được gọi là bất đẳng thức.
1.2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề "\(a< b \Rightarrow c< d\) " đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c < d\) là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a< b\) và cũng viết là \(a< b \Rightarrow c< d\).
Nếu bất đẳng thức \(a< b\) là hệ quả của bất đẳng thức \(c< d\) và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là \(a< b \Leftrightarrow c< d\).
1.3. Tính chất của bất đẳng thức
- Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số : \(a< b \Leftrightarrow a+c < b+c\)
- Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số : \(a< b \Leftrightarrow ac < bc (c>0)\)
\(a< b \Leftrightarrow ac > bc (c<0)\)
- Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều : \(a< b, c< d \Rightarrow a+c < b+d\)
- Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều : \(a< b, c< d \Rightarrow ac < bd (a>0, c>0)\)
- Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa : \(a< b \Leftrightarrow a^{2n+1} < b^{2n+1} (n\in N^*)\)
\(a< b \Leftrightarrow a^{2n} < b^{2n} (n\in N^*, a>0)\)
- Khai căn hai vế của một bất đẳng thức : \(a< b \Leftrightarrow \sqrt{a}< \sqrt{b}(a>0)\)
\(a< b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)
2. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô-si)
2.1. Bất đẳng thức Cô-si
Định lí
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình công của chúng.
\(\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}, \forall a,b \geq 0\)
Đẳng thức \(\sqrt{ab}= \frac{a+b}{2}\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\).
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
\(a+\frac{1}{a}\geq 2, \forall a>0\)
Hệ quả 2
Nếu \(x,y\) cùng dương và có tổng không đổi thì tích \(xy\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x=y\).
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.
Hệ quả 3
Nếu \(x,y\) cùng dương và có tích không đổi thì tổng \(x+y\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(x=y\).
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.
3. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- \(\mid x\mid \geq 0,\mid x\mid \geq x,\mid x\mid \geq -x\)
- \(a>0\): \(\mid x\mid \leq a \Leftrightarrow -a \leq x\leq a\)
\(\mid x\mid \leq a \Leftrightarrow x\leq -a hoặc x\geq a\)
- \(\mid a\mid -\mid b\mid \leq \mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \)
Mục lục Lớp 10 theo chương
Chương 1: Xã hội nguyên thủy - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp - Đại số 10
Chương 1: Vectơ - Hình học 10
Phần 1: Cơ học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 1: Động học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 5: Địa lí dân cư - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 1: Động học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Chất khí - Phần 2: Nhiệt học
Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 1: Nguyên tử - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 1: Bản Đồ - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Xã hội cổ đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Phần 2: Nhiệt học - Giải bài tập SGK Vật lý 10
Chương 2: Cấu trúc của tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng - Hình học 10
Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 2: Động lực học chất điểm - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 2: Động lực học chất điểm - Phần 1: Cơ học
Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai - Đại số 10
Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học - Phần 2: Nhiệt học
Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 2: Các nước Âu - Mỹ - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Phần 2: Công dân với đạo đức - Giải bài tập SGK GDCD 10
Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm - Phần 3: Sinh học vi sinh vật
Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Hình học 10
Chương 7: Địa lí nông nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 3: Tĩnh học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn - Phần 1: Cơ học
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Phần 2: Nhiệt học
Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) - Phần 3: Lịch sử thế giới cận đại
Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình - Đại số 10
Chương 3: Liên kết hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 4 : Phân bào - Phần 2: Sinh học tế bào
Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí - Phần 1: Địa lí Tự nhiên
Chương 8: Địa lí công nghiệp - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 4: Các định luật bảo toàn - Phần 1: Cơ học
Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình - Đại số 10
Chương 4: Phản ứng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Nhóm Halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 9: Địa lí dịch vụ - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 5: Cơ học chất lưu - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX
Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 5: Nhóm halogen - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 5: Thống kê - Đại số 10
Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác - Đại số 10
Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững - Phần 2: Địa lí kinh tế - Xã hội
Chương 6: Chất khí - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 6: Tây Âu thời trung đại - Phần 1: Lịch sử thế giới thời nguyên thủy, cổ đại và trung đại
Chương 6: Nhóm oxi - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10
Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học - Giải bài tập SGK Hóa học 10 Nâng cao
Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học - Giải bài tập SGK Vật lý 10 Nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ