Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn - Đại số toán lớp 10

1. Khái niệm về bất phương trình một ẩn

1.1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn \(x\) là mệnh đề chứa biến có dạng

\(f(x)< g(x)\) (\(f(x) \leq g(x)\)) (1)

trong đó \(f(x)\) và \(g(x)\) là những biểu thức của \(x\).

Ta gọi \(f(x)\) và \(g(x)\) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Số thực \(x_0\) sao cho \(f(x_0)< g(x_0)\)(\(f(x_0)\leq g(x_0)\)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

1.2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số \(x\) để \(f(x)\) và \(g(x)\) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).

1.3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò là ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như hằng số và được gọi là tham số.

2. Hệ bất phương trình một ẩn

Hệ bất phương trình ẩn \(x\) gồm một số bất phương trình ẩn \(x\) mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của \(x\) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

3. Một số phép biến đổi bất phương trình

3.1. Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu " \(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.

Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu "\(\Leftrightarrow\)" để chỉ sự tương đương đó.

3.2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

3.3. Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

\(P(x)< Q(x) \Leftrightarrow P(x)+f(x)< Q(x)+f(x)\)

3.4. Nhân (chia)

Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

\(P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) < Q(x). f(x)\) nếu \(f(x) >0, \forall x\)

\(P(x) < Q(x) \Leftrightarrow P(x).f(x) > Q(x). f(x)\) nếu \(f(x) <0, \forall x\)

3.5. Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương.

\(P(x)< Q(x) \Leftrightarrow P^2(x)< Q^2(x)\) nếu \(P(x)\geq 0, Q(x)\geq 0,\forall x\)

3.6. Chú ý

a) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

b) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình \(P(x)< Q(x)\) với biểu thức \(f(x)\) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của \(f(x)\). Nếu \(f(x)\) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

c) Khi giải bất phương trình \(P(x)< Q(x)\) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp:

- \(P(x),Q(x)\) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế của bất phương trình.

- \(P(x),Q(x)\) cùng có giá trị âm, ta viết

\(P(x)< Q(x) \Leftrightarrow -Q(x) < -P(x)\)

rồi bình phương hai vế của bất phương trình mới.

Bài trước Bài sau

Lớp 10

Chương 1: Xã hội nguyên thủy Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Mệnh đề - Tập hợp Chương 1: Vectơ Phần 1: Cơ học Chương 1: Thành phần hóa học của tế bào Chương 1: Chuyển hóa vật chất và năng lượng ở vi sinh vật Chương 1: Động học chất điểm Chương 5: Địa lí dân cư Chương 1: Động học chất điểm Chương 1: Việt Nam từ thời nguyên thủy đến thế kỉ X Chương 5: Chất khí Chương 1: Các cuộc cách mạng tư sản (từ giữa thế kỉ XVI đến cuối thế kỉ XVIII) Phần 1: Công dân với việc hình thành thế giới quan, phương pháp luận khoa học. Chương 1: Nguyên tử Chương 1: Bản Đồ Chương 2: Xã hội cổ đại Chương 2: Vũ trụ. Hệ quả các chuyển động của trái đất Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Phần 2: Nhiệt học Chương 2: Cấu trúc của tế bào Chương 2: Sinh trưởng và sinh sản của vi sinh vật Chương 2: Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Chương 6: Cơ cấu nền kinh tế Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Động lực học chất điểm Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai Chương 6: Cơ sở của nhiệt động lực học Chương 2: Việt Nam từ thế kỉ X đến thế kỉ XV Chương 2: Các nước Âu - Mỹ Phần 2: Công dân với đạo đức Chương 2: Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và Định luật tuần hoàn Chương 3: Trung Quốc thời phong kiến Chương 3: Cấu trúc của Trái Đất. Các quyển của Trái Đất. Chương 3: Liên kết hóa học Chương 3: Chuyển hóa vật chất và năng lượng trong tế bào Chương 3: Virut và bệnh truyền nhiễm Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Chương 7: Địa lí nông nghiệp Chương 3: Tĩnh học vật rắn Chương 3: Cân bằng và chuyển động của vật rắn Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 3: Việt Nam từ thế kỉ XVI đến thế kỉ XVIII Chương 3: Phong trào công nhân (từ đầu thế kỉ XIX đến đầu thế kỉ XX) Chương 3: Phương trình - Hệ phương trình Chương 3: Liên kết hóa học Chương 4: Phản ứng oxi hóa - khử Chương 4 : Phân bào Chương 4: Một số quy luật của lớp vỏ địa lí Chương 8: Địa lí công nghiệp Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Các định luật bảo toàn Chương 4: Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XIX Chương 4: Ấn Độ thời phong kiến Chương 4: Bất đẳng thức - Bất phương trình Chương 4: Phản ứng hóa học Chương 5: Nhóm Halogen Chương 9: Địa lí dịch vụ Chương 5: Cơ học chất lưu Sơ kết lịch sử Việt Nam từ nguồn gốc đến giữa thế kỉ XIX Chương 5: Đông Nam Á thời phong kiến Chương 5: Nhóm halogen Chương 5: Thống kê Chương 6: Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác Chương 6: Oxi - Lưu huỳnh Chương 10: Môi trường và sự phát triển bền vững Chương 6: Chất khí Chương 6: Tây Âu thời trung đại Chương 6: Nhóm oxi Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 7: Chất rắn và chất lỏng. Sự chuyển thể Chương 7: Tốc độ phản ứng và cân bằng hóa học Chương 8: Cơ sở của nhiệt động lực học

Chương 4 : Bất đẳng thức. Bất phương trình

•Bài 1 : Bất đẳng thức •Bài 2 : Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn •Bài 3 : Dấu của nhị thức bậc nhất •Bài 4 : Bất phương trình bậc nhất hai ẩn •Bài 5 : Dấu của tam thức bậc hai

+ Mở rộng xem đầy đủ