Giải bài 4 trang 93 – SGK Hình học lớp 10
Cho đường thẳng \(Δ:x–y+2=0\) và hai điểm \(O(0;0);A(2;0).\)
a) Tìm điểm đối xứng của O qua \(Δ\)
b) Tìm điểm M trên \(Δ\) sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.
a) Gọi d là đường thẳng đi qua O và vuông góc với Δ.
Khi đó \(\overrightarrow{{{n}_{\Delta }}}=\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left( 1;1 \right) \)
Phương trình tổng quát của đường thẳng d là \(x+y=0.\)
Tọa độ giao điểm H của hai đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{aligned} & x-y+2=0 \\ & x+y=0 \\ \end{aligned} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-1 \\ & y=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Điểm O’ đối xứng với O qua Δ khi và chỉ khi H là trung điểm của OO’
\(\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{O'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{O}}=-2 \\ & {{y}_{O'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{O}}=2 \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tọa độ điểm đối xứng cần tìm là \(O'\left( -2;2 \right) \).
b) Ta có \(\left( 0-0+2 \right)\left( 2-0+2 \right)=8>0 \)
Suy ra O và A cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng Δ.
Với M nằm trên Δ, ta có \(MO=MO’\) (O’ đối xứng với O qua Δ)
Suy ra \(MO+MA=MO'+MA\ge O'A \)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(O’, M, A\) thẳng hàng.
Ta có \(\overrightarrow{O'A}=\left( 4;-2 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{O'A}}}=\left( 1;2 \right) \)
Phương trình tổng quát của đường thẳng O’A là
\(x-2+2y=0\Leftrightarrow x+2y-2=0 \)
Giao điểm M cần tìm là giao điểm của Δ và O’A thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & x+2y-2=0 \\ & x-y+2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=-\dfrac{2}{3} \\ & y=\dfrac{4}{3} \\ \end{aligned} \right. \)
Vậy tọa độ điểm M là \(\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Ghi nhớ: Cho đường thẳng \(d:ax+by+c=0\) và hai điểm \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right) \) và \(B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\)
+) Nếu \(\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)<0\) thì A và B nằm khác phía so với d.
+) Nếu \(\left( a{{x}_{A}}+b{{y}_{A}}+c \right)\left( a{{x}_{B}}+b{{y}_{B}}+c \right)>0\) thì A và B nằm cùng phía so với d.