Giải bài 5 trang 93 – SGK Hình học lớp 10
Cho ba điểm \(A(4;3),B(2;7),C(−3;−8)\)
a) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC.
b) Tìm T là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh T, G, H thẳng hàng.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Tọa độ trọng tâm G là \( \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{G}}=\dfrac{4+2-3}{3}=1 \\ & {{y}_{G}}=\dfrac{3+7-8}{3}=\dfrac{2}{3} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow G\left( 1;\dfrac{2}{3} \right) \)
Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -2;4 \right)=-2\left( 1;-2 \right),\overrightarrow{AC}=\left( -7;-11 \right) \)
Vì \(CH\bot AB\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{CH}}}=\left( 1;-2 \right) \)
Đường cao CH đi qua C và nhận \( \overrightarrow{n}=\left( 1;-2 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(x+3-2\left( y+8 \right)=0\Leftrightarrow x-2y-13=0\)
Vì \(BH\bot AC\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\left( -7;-11 \right) \)
Đường cao BH đi qua B và nhận \(\overrightarrow{n}=\left( -7;-11 \right)\) là vec tơ pháp tuyến có phương trình
\(-7\left( x-2 \right)-11\left( y-7 \right)=0\Leftrightarrow 7x+11y-91=0\)
Tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{aligned} & 7x+11y-91=0 \\ & x-2y-13=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=13 \\ & y=0 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( 13;0 \right) \)
b) Phương trình đường tròn tâm \(T\left( a;b \right)\) ngoại tiếp tam giác ABC có dạng
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2ax-2by+c=0\)
Do A, B, C nằm trên đường tròn nên ta có hệ phương trình
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 16+9-8a-6b+c=0 \\ & 4+49-4a-14b+c=0 \\ & 9+64+6a+16b+c=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 8a+6b-c=25 \\ & 4a+14b-c=53 \\ & 6a+16b+c=-73 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-5 \\ & b=1 \\ & c=-59 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(T\left( -5;1 \right) \)
Ta có \(\overrightarrow{GT}=\left( -6;\dfrac{1}{3} \right),\overrightarrow{GH}=\left( 12;-\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow \overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GT} \)
Suy ra G, H, T thẳng hàng.
c) Theo câu b, ta có \(\left\{ \begin{aligned} & a=-5 \\ & b=1 \\ & c=-59 \\ \end{aligned} \right.\)
Suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+10x-2y-59=0 .\)
Ghi nhớ
Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: \( \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{G}}=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}=1 \\ & {{y}_{G}}=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}=\dfrac{2}{3} \\ \end{aligned} \right.\)
Để chứng minh ba điểm A B C thẳng hàng ta chứng minh \(\overrightarrow {AB}=k\overrightarrow {AC}\) (k là hằng số)