Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Đại số và Giải tích toán lớp 11

1. Đạo hàm tại một điểm

1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

- Giới hạn hữu hạn (nếu có)

\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\)

được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).

- Giới hạn hữu hạn (nếu có)

\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}\)

được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\).

1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\in (a;b)\)

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

\(\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\) và kí hiệu là \(f'(x_0)\) (hoặc \(y'(x_0)\)), tức là

\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc

- Bước 1: giả sử \(\triangle x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính

\(\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\)

- Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)

- Bước 3: Tìm \(\lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}\)

1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Định lí 1

Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó

Chú ý

a) Định lí trên tương đương với khẳng định:

Nếu hàm số \(y=f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.

b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:

Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí 2

Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\) của \((C)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\)

Định lí 3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là

\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)

trong đó \(y_0=f(x_0)\)

1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

a) Vận tốc tức thời

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s=s(t)\), với \(s=s(t)\) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(s=s(t)\) tại \(t_0\)

\(v(t_0)=s'(t_0)\)

b) Cường độ tức thời

Nếu điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian \(Q=Q(t)\) (\(Q=Q(t)\) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(Q=Q(t)\) tại \(t_0\)

\(I(t_0)=Q'(t_0)\)

2. Đạo hàm trên một khoảng

Định nghĩa

Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) trên khoảng đó.

Khi đó, ta gọi hàm số : \(f': (a;b)\rightarrow R\)

\(x \rightarrow f'(x)\)

là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) trên khoảng \((a;b)\), kí hiệu là \(y'\) hay \(f'(x)\).

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

Chương 5 : Đạo hàm

•Bài 1 : Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm •Bài 2 : Quy tắc tính đạo hàm •Bài 3 : Đạo hàm của hàm số lượng giác •Bài 4 : Vi phân •Bài 5 : Đạo hàm cấp hai

+ Mở rộng xem đầy đủ