Giải bài 1.3 trang 12 - SBT Đại số và Giải tích 11
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
\( a)\,y=3-2\left| \sin x \right|;\)
\(b)\,y=\cos x+\cos \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right);\)
\(c)\,y={{\cos }^{2}}x+2\cos 2x;\)
\(d)\,y=\sqrt{5-2{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x}.\)
a) Ta có:
\(\begin{aligned} & 0\le \left| \sin x \right|\le 1 \\ & \Leftrightarrow-2\le -2\left| \sin x \right|\le 0 \\ & \Leftrightarrow 1\le 3-2\left| \sin x \right|\le 3 \\ \end{aligned} \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=3-2\left| \sin x \right|\) là \(1 \)
Dấu “=” xảy ra khi
\(\begin{aligned} & \left| \sin x \right|=1 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \sin x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(3\).
Dấu “=” xảy ra khi
\(\left| \sin x \right|=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \)
b) Ta có:
\(\cos x+\cos \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=2\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \dfrac{\pi }{6}=\sqrt{3}\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right) \)
Vì \(-1\le \cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)\le 1\Leftrightarrow -\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}\)
Nên GTNN của hàm số là \(-\sqrt{3}\). Dấu “=” xảy ra khi \(\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=-1 \)
GTLN của hàm số là \( \sqrt{3}\). Dấu “=” xảy ra khi \( \cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=1\)
c) Ta có: \(y={{\cos }^{2}}x+2\cos 2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}+2\cos 2x=\dfrac{1+5\cos 2x}{2} \)
Vì \(-1\le \cos 2x\le 1\Leftrightarrow -2\le y\le 3 \)
Nên GTLN của hàm số là \(3\). Dấu “=” xảy ra khi \(\cos 2x=1 \)
GTNN của hàm số là \(-2\). Dấu “=” xảy ra khi \(\cos 2x=-1 \)
d) Ta có: \(y=\sqrt{5-2{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{5-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x} \)
Vì
\(\begin{aligned} & 0\le {{\sin }^{2}}2x\le 1\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le 5-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x\le 5 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le \sqrt{5} \\ \end{aligned}\)
Nên GTLN của hàm số là \(\sqrt{5}\) . Dấu “=” xảy ra khi \({{\sin }^{2}}2x=0\)
GTNN của hàm số là \( \dfrac{9\sqrt{2}}{2}\). Dấu “=” xảy ra khi \({{\sin }^{2}}2x=1\)
Ghi nhớ:
\(-1\le \sin x\le 1\\ -1\le \cos x\le 1\)