Giải bài 3.12 trang 118 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=n^2-4n+3\)

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng \(n\) số hạng đầu của dãy đã cho.

Lời giải:

Hướng dẫn
Để viết công thức tru hồi của dãy số, ta thực hiện:
- Tính \(u_1\)
- Tìm hiệu \(u_{n+1}-u_{n} \)

Bài làm

a) Ta có:

\({{u}_{1}}=0 \)

Xét hiệu

\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}-4\left( n+1 \right)+3-\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & ={{n}^{2}}+2n+1-4n-4+3-{{n}^{2}}+4n-3 \\ & =2n-3 \\ \end{align} \)

Vậy công thức truy hồi là \( \left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=0 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+2n-3\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right. \)

b) Ta có:

\({{u}_{n}}={{n}^{2}}-4n+3={{\left( n-2 \right)}^{2}}-1\ge -1 \)

Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên vì khi \(n\to +\infty\) thì \( {{u}_{n}}\to +\infty\)
c)

\(\begin{align} & {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+...+{{u}_{n}} \\ & =\left( {{1}^{2}}-4.1+3 \right)+\left( {{2}^{2}}-4.2+3 \right)+\left( {{3}^{2}}-4.3+3 \right)+...+\left( {{n}^{2}}-4n+3 \right) \\ & =\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+...+{{n}^{2}} \right)-4.\left( 1+2+3+..+n \right)+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}-4.\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}+3n \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)-12n\left( n+1 \right)+18n}{6} \\ & =\dfrac{n\left( n+1 \right)\left( 2n-11 \right)+18n}{6} \\ \end{align} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 2: Dãy số

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ