Giải bài 3.9 trang 117 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Để xét tính tăng giảm của dãy số ta có thể:

- Xét hiệu \(u_{n+1}-u_{n}\)

- Xét thương \( \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \) với \(u_n\ne 0\)

Bài làm

a) 

Ta có: 

\(\begin{align} & {{u}_{1}}={{10}^{1-2}}=\dfrac{1}{10},\,\,\,{{u}_{2}}={{10}^{1-4}}=\dfrac{1}{{{10}^{3}}} \\ & {{u}_{3}}={{10}^{1-6}}=\dfrac{1}{{{10}^{5}}},\,\,{{u}_{4}}={{10}^{1-8}}=\dfrac{1}{{{10}^{7}}} \\ & {{u}_{5}}={{10}^{1-10}}=\dfrac{1}{{{10}^{9}}} \\ \end{align}\)  

Xét \(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{10}^{1-2\left( n+1 \right)}}}{{{10}^{1-2n}}}=\dfrac{{{10}^{1-2n}}{{.10}^{-2}}}{{{10}^{1-2n}}}={{10}^{-2}}<1 \)

Nên dãy số là dãy số giảm.

b) 

Ta có:

\(\begin{align} & {{u}_{1}}={{3}^{1}}-7=-4,\,\,\,{{u}_{2}}={{3}^{2}}-7=2 \\ & {{u}_{3}}={{3}^{3}}-7=20,\,\,{{3}^{4}}-7=74 \\ & {{u}_{5}}={{3}^{5}}-7=236 \\ \end{align}\)

Xét hiệu \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-7-\left( {{3}^{n}}-7 \right)={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}\ge 0 \)

Vậy dãy số là dãy số tăng

c) 

Ta có:

\(\begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{2+1}{1}=3,\,\,\,{{u}_{2}}=\dfrac{2.2+1}{{{2}^{2}}}=\dfrac{5}{4} \\ & {{u}_{3}}=\dfrac{2.3+1}{{{3}^{2}}}=\dfrac{6}{9},\,\,\,{{u}_{4}}=\dfrac{2.4+1}{{{4}^{2}}}=\dfrac{9}{16} \\ & {{u}_{5}}=\dfrac{2.5+1}{{{5}^{2}}}=\dfrac{11}{25} \\ \end{align}\)

Xét hiệu

\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\dfrac{2\left( n+1 \right)+1}{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}-\dfrac{2n+1}{{{n}^{2}}}=\dfrac{{{n}^{2}}\left( 2n+3 \right)-{{\left( n+1 \right)}^{2}}\left( 2n+1 \right)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}-\left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{2{{n}^{3}}+3{{n}^{2}}-\left( 2{{n}^{3}}+5{{n}^{2}}+4n+1 \right)}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-2{{n}^{2}}-4n-1}{{{n}^{2}}{{\left( n+1 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align}\)

Vậy dãy số là dãy giảm

d) 

Ta có:

\(\begin{align} & {{u}_{1}}=\dfrac{3}{2},\,\,{{u}_{2}}=\dfrac{{{3}^{2}}\sqrt{2}}{4}=\dfrac{9\sqrt{2}}{4} \\ & {{u}_{3}}=\dfrac{{{3}^{3}}\sqrt{3}}{{{2}^{3}}}=\dfrac{27\sqrt{3}}{8},\,\,{{u}_{4}}=\dfrac{{{3}^{4}}\sqrt{4}}{{{2}^{4}}}=\dfrac{81}{8} \\ & {{u}_{5}}=\dfrac{{{3}^{5}}\sqrt{5}}{{{2}^{5}}} \\ \end{align} \)

Xét thương 

\(\begin{align} & \dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{3}^{n+1}}\sqrt{n+1}}{{{2}^{n+1}}}:\dfrac{{{3}^{n}}\sqrt{n}}{{{2}^{n}}} \\ & =\dfrac{{{3}^{n+1}}\sqrt{n+1}}{{{2}^{n+1}}}.\dfrac{{{2}^{n}}}{{{3}^{n}}\sqrt{n}}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}>1 \\ \end{align} \)

Vậy dãy số là dãy tăng