Giải bài 4.35 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) chứa điểm \(x_0.\)

Chứng minh rằng nếu \(\lim_{x\to x_0}\limits \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L\) thì hàm số \(f(x) \) liên tục tại điểm \(x_0\).

Lời giải:

Hướng dẫn:
Đặt \(g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}-L \)
Biểu diễn \(f(x)\) qua \(g(x)\) rồi chứng minh.

Bài giải

Đặt \(g\left( x \right)=\dfrac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}-L \)

Ta có \(g(x)\) xác định trên \(\left( a;b \right)\backslash \left\{ {{x}_{0}} \right\}\) và \(\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,g\left( x \right)=0 \)

Mặt khác, \(f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)+L.\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right)\) nên

\(\begin{align} & \lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,\left[ f\left( {{x}_{0}} \right)+L\left( x-{{x}_{0}} \right)+\left( x-{{x}_{0}} \right)g\left( x \right) \right] \\ & =\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,f\left( {{x}_{0}} \right)+\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,L\left( x-{{x}_{0}} \right)+\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,\left( x-{{x}_{o}} \right).\lim_{x\to {{x}_{0}}}\limits\,g\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right) \\ \end{align} \)

Vậy hàm số liên tục tại \(x_0\)

Bài trước Bài sau

Lớp 11

Bài 3: Hàm số liên tục

Lớp 11

Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới Phần 1: Công dân với kinh tế Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Điện tích - Điện trường Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX Chương 1: Sự điện li Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng Chương 1: Sự điện li Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng Chương 1 - Điện tích - Điện trường Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng Chương 2: Cảm ứng Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song B - Địa lý khu vực và quốc gia Chương 2: Tổ hợp và xác suất Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) Chương 2 - Dòng điện không đổi Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 2: Dòng điện không đổi Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) Chương 2: Nitơ - Photpho Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang Chương 2: Nhóm Nitơ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song Chương 2: Tổ hợp và xác suất Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc Chương 3: Sinh trưởng và phát triển Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại Chương 3: Nhóm Cacbon Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 3: Dòng điện trong các môi trường Chương 3: Cacbon - Silic Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân Chương 4: Sinh sản Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 4 - Từ trường Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) Chương 4: Giới hạn Chương 4: Từ trường Chương 4: Giới hạn Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Cảm ứng điện từ Chương 5 - Cảm ứng điện từ Chương 5: Hiđrocacbon no Chương 5: Đạo hàm Chương 5: Hidrocacbon no Chương 6: Khúc xạ ánh sáng Chương 6: Hiđrocacbon không no Chương 6: Hidrocacbon không no Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic

+ Mở rộng xem đầy đủ