Giải bài 4.39 trang 171 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh rằng phương trình
a) \(x^5-3x-7=0\) luôn có nghiệm;
b) \(\cos 2x=2\sin x-2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \(\left(-\dfrac{\pi}{6};\pi\right)\)
c) \(\sqrt{x^3+6x+1}-2=0\) có nghiệm dương
Hướng dẫn:
Sử dụng định lý 3, trang 138 SGK.
a) Xét hàm số \(f(x)=x^5-3x-7\) là hàm đa thức nên liên tục trên \( \mathbb R\)
Ta có: \(f(0)=-7<0 , f(2)=19>0\)
Suy ra: \(f(0).f(2)<0\)
Theo định lý 3, tồn tại \(x_0 \in (0;2) \) sao cho \(f(x_0)=0\)
Hay phương trình \(x^5-3x-7=0\) luôn có nghiệm.
b) Xét hàm số \(f\left( x \right)=\cos 2x-2\sin x+2\) liên tục trên \(\mathbb R\)
Ta có:
\(\begin{align} & f\left( -\dfrac{\pi }{6} \right)=\cos \left( -\dfrac{\pi }{3} \right)-2\sin \left( -\dfrac{\pi }{6} \right)+2=\dfrac{3}{2}>0 \\ & f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\cos \pi -2\sin \left( \dfrac{\pi }{2} \right)+2=-1<0 \\ & f\left( \pi \right)=\cos 2\pi -2\sin \pi +2=3>0 \\ \end{align} \)
Vì \(f\left( -\dfrac{\pi }{6} \right).f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)<0\) nên tồn tại một số \({{x}_{0}}\in \left( -\dfrac{\pi }{6};\dfrac{\pi }{2} \right)\) sao cho \(f\left( {{x}_{0}} \right)=0 \)
Ta có: \(f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)f\left( \pi \right)<0\) nên tồn tại một số \({{x}_{0}}\in \left( \dfrac{\pi }{2};\pi \right)\) sao cho \(f\left( {{x}_{0}} \right)=0\)
Vậy phương trình \(\cos 2x=2\sin x-2\) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \( \left( -\dfrac{\pi }{6};\pi \right) \)
c) Ta có: \(\sqrt{{{x}^{3}}+6x+1}-2=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6x+1=4\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6x-3=0 \)
Xét hàm số \(f(x)=x^3+6x-3\) liên tục trên \( \mathbb R.\)
Ta có: \(f(0)=-3<0; f(1)=4> 0\) nên tồn tại một số dương \(x_0\) thuộc \((0;1)\) sao cho \(f(x_0)=0\).
Do đó phương trình có nghiệm dương.