Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y=x^3\):
a) Tại điểm \((-1;1)\)
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\);
c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\).
Ta có:
\(\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}^{3}}-x_{0}^{3}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{3x_{0}^{2}\Delta x+3{{x}_{0}}{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+{{\left( \Delta x \right)}^{3}}}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\left[ 3x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right]=3x_{0}^{2} \\ \end{align} \)
a) Ta có: \({{x}_{0}}=-1;\,{{y}_{0}}=-1;\,f'\left( -1 \right)=3 \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại \((-1;-1)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=3\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=3x+2 \\ \end{align} \)
b) Điểm có hoành độ bằng \(2\) thuộc đồ thị hàm số \(y=x^3\) thì có tung độ là \(2^3=8\)
Vậy tọa độ tiếp điểm là \((2;8)\)
Ta có: \(x_0=2;\,y_0=8; f’(x_0)=f’(2)=12\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại \((2;8) \) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-8=12\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=12x-16 \\ \end{align}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3, suy ra: \(f'\left( {{x}_{0}} \right)=3\Leftrightarrow 3x_{0}^{2}=3\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 1 \)
Với \(x_0=1\), thì \(y_0=1\).
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại \((1;1) \) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-1=3\left( x-1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=3x-2 \\ \end{align} \)
Với \(x_0=-1\), thì \(y_0=-1.\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=x^3\) tại \((-1;-1)\) là: \(y=3x+2\) (như câu a)
Ghi nhớ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\), trong đó: \(y_0=f(x_0).\)
Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại một tiếp điểm, ta phải biết được:
- Tọa độ tiếp điểm.
- Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là hoành độ của tiếp điểm.