Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y=\dfrac{1}{x}\)
a) Tại điểm \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\);
b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\);
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(\dfrac{-1}{4}\).
Lời giải:
Ta có:
\(\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{x_{0}^{2}} \\ \end{align}. \)
\(\begin{align} & f'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{f\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{\dfrac{1}{{{x}_{0}}+\Delta x}-\dfrac{1}{{{x}_{0}}}}{\Delta x} \\ & =\lim\limits_{\Delta x\to 0}\,\dfrac{-1}{{{x}_{0}}\left( {{x}_{0}}+\Delta x \right)}=\dfrac{-1}{x_{0}^{2}} \\ \end{align}. \)
a) Ta có: \({{x}_{0}}=\dfrac{1}{2};\,{{y}_{0}}=2;\,f'\left( {{x}_{0}} \right)=f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=-4 \)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac {1}{x}\) tại \(\left(\dfrac{1}{2};2\right)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-2=-4\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \\ & \Leftrightarrow y=-4x+4 \\ \end{align} \)
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-2=-4\left( x-\dfrac{1}{2} \right) \\ & \Leftrightarrow y=-4x+4 \\ \end{align} \)
b) Điểm có hoành độ bằng \(-1\) thuộc đồ thị hàm số thì có tung độ là \(-1\)Vậy tọa độ tiếp điểm là \((-1;-1)\)Ta có: \(x_0=-1;\,y_0=-1; f’(x_0)=f’(-1)=-1\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) tại \((-1;-1)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=-\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-x-2 \\ \end{align}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\), suy ra: \( f'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{x_{0}^{2}}=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2 \)
Với \(x_0=-2\), thì \(y_0=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x+2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x-1 \\ \end{align}\)
Với \(x_0=2\), thì \(y_0=\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+1 \\ \end{align}\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) tại \((-1;-1)\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+1=-\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-x-2 \\ \end{align}\)
c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( -\dfrac{1}{4}\), suy ra: \( f'\left( {{x}_{0}} \right)=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{-1}{x_{0}^{2}}=\dfrac{-1}{4}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=\pm 2 \)
Với \(x_0=-2\), thì \(y_0=\dfrac{-1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x+2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x-1 \\ \end{align}\)
Với \(x_0=2\), thì \(y_0=\dfrac{1}{2}\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{x}\) là:
\(\begin{align} & y-{{y}_{0}}=f'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right) \\ & \Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}.\left( x-2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{-1}{4}x+1 \\ \end{align}\)
Ghi nhớ:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là: \(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\), trong đó: \(y_0=f(x_0).\)
Vậy để viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại một tiếp điểm, ta phải biết được:
- Tọa độ tiếp điểm.
- Đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là hoành độ của tiếp điểm.
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm khác
Giải bài 1 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tìm số gia của hàm...
Giải bài 2 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính \(\Delta...
Giải bài 3 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Tính (bằng định nghĩa)...
Giải bài 4 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng hàm...
Giải bài 5 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 6 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Viết phương trình tiếp...
Giải bài 7 trang 157 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Một vật rơi tự do theo...
Mục lục Lớp 11 theo chương
Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11
Chương 1: Các nước châu Á, Châu Phi và khu vực Mĩ LaTinh (Thế kỉ XIX - đầu thế kỉ XX) - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
A - Khái quát nền kinh tế - xã hội của thế giới - Giải bài tập SGK Địa lý 11
Phần 1: Công dân với kinh tế - Giải bài tập SGK GDCD 11
Chương 1: Cách mạng tháng mười Nga năm 1917 và cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội ở Liên Xô (1921 - 1941) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 1: Điện tích - Điện trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 1: Việt Nam từ năm 1858 đến cuối thế kỉ XIX - Phần 3: Lịch Sử Việt Nam (1858 - 1918)
Chương 1: Sự điện li - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 6 - Khúc xạ ánh sáng - Phần 2: Quang hình học
Chương 1: Sự điện li - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11
Chương 1 - Điện tích - Điện trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 1: Chuyển hoá vật chất và năng lượng - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 2: Cảm ứng - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
B - Địa lý khu vực và quốc gia - Giải bài tập SGK Địa lý 11
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11
Phần 2: Công dân với các vấn đề chính trị xã hội - Giải bài tập SGK GDCD 11
Chương 2: Chiến tranh thế giới thứ nhất (1914 - 1918) - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
Chương 2 - Dòng điện không đổi - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 2: Các nước tư bản chủ nghĩa giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 2: Dòng điện không đổi - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 2: Việt Nam từ đầu thế kỉ XX đến hết chiến tranh thế giới thứ nhất (1918) - Phần 3: Lịch Sử Việt Nam (1858 - 1918)
Chương 2: Nitơ - Photpho - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 7 - Mắt. Các dụng cụ quang - Phần 2: Quang hình học
Chương 2: Nhóm Nitơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11
Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc - Hình học 11 SGK (Nâng cao)
Chương 3: Sinh trưởng và phát triển - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11
Chương 3: Những thành tựu văn hóa thời cận đại - Phần 1: Lịch Sử Thế Giới Cận Đại (tiếp theo)
Chương 3: Nhóm Cacbon - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 3 - Dòng điện trong các môi trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 3: Các nước Châu Á giữa hai cuộc chiến tranh thế giới (1918 - 1939) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 3: Dòng điện trong các môi trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 3: Cacbon - Silic - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian - Hình học 11
Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 4: Sinh sản - Phần 4: Sinh học cơ thể
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11
Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 4 - Từ trường - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 4: Chiến tranh thế giới thứ hai (1939 – 1945) - Phần 2: Lịch Sử Thế Giới Hiện Đại (từ năm 1917 đến năm 1945)
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 4: Từ trường - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 4: Đại cương về hóa học hữu cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 (SBT)
Chương 5: Cảm ứng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 5 - Cảm ứng điện từ - Phần 1: Điện học, điện từ học
Chương 5: Hiđrocacbon no - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11 SGK (Nâng cao)
Chương 5: Hidrocacbon no - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 6: Khúc xạ ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 6: Hiđrocacbon không no - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 6: Hidrocacbon không no - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 7: Mắt. Các dụng cụ quang - Giải bài tập SGK Vật lý 11
Chương 7: Hiđrocabon thơm - Nguồn hiđrocacbon thiên nhiên - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 7: Hiđrocacbon thơm. Nguồn Hiđrocacbon thiên nhiên. Hệ thống hóa về Hiđrocacbon - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 8: Dẫn xuất halogen. Ancol - Phenol - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
Chương 8: Dẫn xuất Halogen - Ancol - Phenol - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic - Giải bài tập SGK Hóa học 11
Chương 9: Anđehit - Xeton - Axit cacboxylic - Giải bài tập SGK Hóa học 11 nâng cao
+ Mở rộng xem đầy đủ