Giải bài 1.82 trang 41 - SBT Giải tích lớp 12
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
\(y=\dfrac{x+2}{x-3}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C)
c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }3\} \)
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=1\) nên đồ thị có tiệm cận ngang \(y=1\)
\(\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,y=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{3}^{+}}}\,y=+\infty\) nên đồ thị có tiệm cận đứng x=3
\(y'=\dfrac{-5}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}<0\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;3 \right);\,\,\left( 3;+\infty \right) \)
Bảng biến thiên
Đồ thị
b)
Ta có: I(3;1)
Công thức chuyển hệ tọa độ theo phép tịnh tiến vectơ \(\overrightarrow{OI}\) là: \(\left\{ \begin{align} & x=X+3 \\ & y=Y+1 \\ \end{align} \right. \)
Ta có, hàm số của đồ thị (C) trong hệ tọa độ IXY là
\(Y+1=\dfrac{X+5}{X}\Leftrightarrow Y=\dfrac{5}{X} \)
Nhận xét: Hàm số \(Y=\dfrac{5}{X}\) là hàm lẻ nên nhận góc I làm tâm đối xứng.
c)
Gọi \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left( C \right)\)
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là \(|{{x}_{0}}-3| \)
Khoảng cách từ Mđến tiệm cận ngang là \( |{{y}_{0}}-1|=\dfrac{5}{|{{x}_{0}}-3|} \)
Theo giả thiết khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận bằng nhau nên ta có:
\(|{{x}_{0}}-3|=\dfrac{5}{|{{x}_{0}}-3|}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{0}}-3 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& {{x}_{0}}=3+\sqrt{5} \\
& {{x}_{0}}=3-\sqrt{5} \\
\end{align} \right. \)
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài.