Giải bài 1 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) \(y=\dfrac{x}{2-x}\)
b) \(y=\dfrac{-x+7}{x+1}\)
c) \(y=\dfrac{2x-5}{5x-2}\)
d) \(y=\dfrac{7}{x}-1\)
Hướng dẫn: Đường thẳng \(y=y_o\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\lim\limits_{x\to + \infty }\,f(x)=y_o,\lim\limits_{x\to - \infty }\,f(x)=y_o\)
Đường thẳng \(x=x_o\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
\(\lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=-\infty\\ \lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=+\infty\)
\(y=\dfrac{x}{2-x}\)
Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x}{2-x}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{\dfrac{2}{x}-1}=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{x}{2-x}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{x}{2-x}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-x+7}{x+1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-1+\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left(-1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{-x+7}{x+1}=+\infty;\, \lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{-x+7}{x+1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2+\dfrac{5}{x}}{5-\dfrac{2}{x}}=\dfrac{2}{5}\) nên đường thẳng \(y=\dfrac{2}{5}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{+}}}\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=-\infty;\, \lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{-}}}\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=\dfrac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( \dfrac{7}{x}-1 \right)=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.