Giải bài 2 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12

$a) <span\; class="math-tex">\backslash (y=\backslash dfrac\{2-x\}\{9-\{\{x\}^\{2\}\}\}\backslash )</span>;$

Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0\) nên đường thẳng \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{3}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$b) <span\; class="math-tex">\backslash (y=\backslash dfrac\{\{\{x\}^\{2\}\}+x+1\}\{3-2x-5\{\{x\}^\{2\}\}\}\backslash )</span>;$

Vì \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{3}{{{x}^{2}}}-\dfrac{2}{x}-5}=\dfrac{-1}{5}\) nên đường thẳng \(y=\dfrac{-1}{5}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=\dfrac{3}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$c) <span\; class="math-tex">\backslash (y=\backslash dfrac\{\{\{x\}^\{2\}\}-3x+2\}\{x+1\}\backslash )</span>;$

Vì \(\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$d) <span\; class="math-tex">\backslash (y=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{x\}+1\}\{\backslash sqrt\{x\}-1\}\backslash )</span>.$

Vì \(\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ghi nhớ: 

Đường thẳng \(y=y_o\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                     \(\lim\limits_{x\to + \infty }\,f(x)=y_o,\lim\limits_{x\to - \infty }\,f(x)=y_o\)

Đường thẳng \(x=x_o\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                      \(\lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=-\infty\\ \lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=+\infty\)