Giải bài 3 trang 113 – SGK môn Giải tích lớp 12
Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:
a) \(\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}\) (đặt \(u=x+1\));
b) \(\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}\) (đặt \(x=sint\));
c) \(\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)}{1+x{{e}^{x}}}dx}\) (đặt \(u=1+xe^x\));
d) \(\int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx\,\left( a>0 \right)}\) (đặt \(x=asint\));
Phương pháp đổi biến:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x=\varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ \alpha ;\beta \right]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha \right)=a,\varphi \left( \beta \right)=b \) và \(a\le \varphi \left( t \right)\le b\) với mọi \( t\in \left[ \alpha ;\beta \right] \)
Khi đó
\(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \varphi \left( t \right) \right)\varphi '\left( t \right)dt} \)
a) Đặt \( u=1+x\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\ & x=u-1 \\ \end{align} \right. \)
Đổi cận
| x | 0 | 3 |
| u | 1 | 4 |
\(\begin{align} \int\limits_{0}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)} ^{\frac{3}{2}}}}dx}&=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{{{\left( u-1 \right)}^{2} }}{{{u}^{\frac{3}{2}}}}dx} \\ & =\int\limits_{1}^{4}{\left( {{u}^{\frac{1}{2}}}-2{{u}^{-\frac{1}{2}}}+{{u}^{-\frac{3}{2}}} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{2}{3}{{u}^{\frac{3}{2}}}-4{{u}^{\frac{1}{2}}}-2{{u}^{-\frac{1}{2}}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 4 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{16}{3}-8-1-\dfrac{2}{3}+4+2 \\ & =\dfrac{5}{3} \\ \end{align} \)
b) Đặt \(x=\sin t\Rightarrow dx=\cos tdt \)
Đổi cận
| x | 0 | 1 |
| t | 0 | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
\(\begin{align} \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}& =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{1+\cos 2t}{2}dt} \\ & =\left( \dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2t}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{2}} \right. \\ & =\dfrac{\pi }{4} \\ & \\ \end{align} \)
c) Đặt \( u=1+x{{e}^{x}}\Rightarrow du=\left( 1+x \right){{e}^{x}}dx \)
Đổi cận
| x | 0 | 1 |
| u | 1 | 1 + e |
\(\begin{align} \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)} {1+x{{e}^{x}}}dx}&=\int\limits_{1}^{1+e}{\dfrac{du}{u}} \\ & =\ln \left| u \right|\,\,\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1+e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\ln \left( 1+e \right) \\ \end{align} \)
d) Đặt \(x=asint\Rightarrow dx=acostdt\)
Đổi cận
| x | 0 | \(\dfrac{a}{2}\) |
| t | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
\(\begin{align} \int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx\,}&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}t}}.a\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\dfrac{1}{a\cos t}.a\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{dt}=t\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{6}} \right.=\dfrac{\pi }{6} \\ \end{align} \)