Giải bài 3 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:
a) \(y=\dfrac{x+3}{x-1}\)
b) \(y=\dfrac{1-2x}{2x-4}\)
c) \(y=\dfrac{-x+2}{2x+1} \)
Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức:
* Tìm tập xác định
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.
+) Tiệm cận: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
+) Lập bảng biến thiên
* Vẽ đồ thị hàm số
a) \(y=\dfrac{x+3}{x-1}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=\dfrac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne 1\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\,\text{và}\,\left(1;\,+\infty \right)\)
+) Cực trị
Hàm số đã cho không có cực trị
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x+3}{x-1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=1\) nên đường thẳng \(y=1\) là tiệm cận ngang.
\(\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{x+3}{x-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{x+3}{x-1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên
b) \(y=\dfrac{1-2x}{2x-4}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=\dfrac{3}{2{{\left( x-2 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 2 \)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;{2} \right)\,\text{và}\,\left(2;\,+\infty \right)\)
+) Cực trị
Hàm số đã cho không có cực trị
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{\dfrac{1}{x}-2}{2-\dfrac{4}{x}}=-1\) nên đường thẳng \(y=-1\) là tiệm cận ngang.
\(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=+\infty\) nên đường thẳng \(x=2\) là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên
c) \(y=\dfrac{-x+2}{2x+1} \)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=\dfrac{-5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne -\dfrac{1}{2}\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,-\dfrac{1}{2} \right)\) và \(\left( -\dfrac{1}{2};\,+\infty \right)\).
+) Cực trị
Hàm số đã cho không có cực trị
+) Tiệm cận
\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=-\dfrac{1}{2}\) nên đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận ngang.
\(\underset{x\to {{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=+\infty;\, \underset{x\to {{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=-\infty\) nên đường thẳng \(x=-\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận đứng.
+) Bảng biến thiên
