Giải bài 7 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12

Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+m\)

a) Với giá trị nào của tham số \(m\), đồ thị của hàm đi qua điểm \( (-1; 1)\)?
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi \(m = 1\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{7}{4}\)

Lời giải:

a) Đồ thị của hàm đi qua điểm \( (-1; 1)\) khi và chỉ khi \(1=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+m\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4} \)

b) Với \(m=1\) ta có \(y=\dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'={{x}^{3}}+x=x\left( {{x}^{2}}+1 \right);\,y'=0\Leftrightarrow x=0\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\,0\right)\)

Hàm số đồng biến trên \(\left(0;\,+\infty\right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0;\,y_{CT}=1\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left( \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty\)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm \((0;\,1)\)

c) Gọi \(M(x_o;\,y_o)\) là tọa độ tiếp điểm của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{7}{4}\)

Ta có:

\(y_o=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{x_o}^{4}}+\dfrac{1}{2}{{x_o}^{2}}+1=\dfrac{7}{4}\\ \Leftrightarrow {{x_o}^{4}}+2{{x_o}^{2}}-3=0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_o}^{2}}-1 \right)\left( {{x_o}^{2}}+3 \right)=0\\\Leftrightarrow {{x_o}^{2}}=1\Leftrightarrow x_o=\pm 1\)

* Với \( x_o=1\Rightarrow y'\left( 1 \right)=2\) phương trình tiếp tuyến có dạng

\(y=2\left( x-1 \right)+\dfrac{7}{4}=2x-\dfrac{1}{4}\)
* Với \(x_o=-1\Rightarrow y'\left( -1 \right)=-2\) phương trình tiếp tuyến có dạng

\(y=-2\left( x+1 \right)+\dfrac{7}{4}=-2x-\dfrac{1}{4}\)

Ghi nhớ: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_o;y_o)\) có dạng
\(y=f'(x_o)(x-x_o)+y_o\)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ