Giải bài 34 trang 35 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:
| \(a)\,y=\dfrac{x-2}{3x+2}\\ c)\,y=x+2-\dfrac 1 {x-3}\\ e)\,y=\dfrac{x+2}{x^2-1}\) | \(b)\,y=\dfrac{-2x-2}{x+3}\,\\ d)\,y=\dfrac{x^2-3x+4}{2x+1}\\ f)\,y=\dfrac{x}{x^3+1}\) |
Lý thuyết:
Đường thẳng \(y={{y}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}\)
Đường thẳng \(x={{x}_{0}}\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Đường thẳng \(y =ax+b\) được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y= f(x) \) nếu
\(\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\) hoặc \(\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0\)
a)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{2}{3} \right\}\)
Ta có:
Vậy \(y=\dfrac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{x\to -{{\frac{2}{3}}^{+}}}\dfrac{x-2}{3x+2}=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -{{\frac{2}{3}}^{-}}}\dfrac{x-2}{3x+2}=+\infty \)
Nên \(x=-\dfrac{2}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
b)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3 \right\}\)
Ta có:
\(\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{-2x-2}{x+3}=\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{-2-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{3}{x}}=-2\\ \lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{-2x-2}{x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{-2-\dfrac{2}{x}}{1+\dfrac{3}{x}}=-2\)
Nên \(y=-2 \) là tiệm cận ngang của đồ thị
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{3}^{-}}}\dfrac{-2x-2}{x+3}=-\infty \\ & \lim\limits_{x\to -{{3}^{+}}}\dfrac{-2x-2}{x+3}=+\infty \\ \end{align}\)
Vậy \(x=-3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
c)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\left[ y-\left( x+2 \right) \right]=\lim\limits_{x\to +\infty }\dfrac{-1}{x-3}=0 \\ & \lim\limits_{x\to -\infty }\left[ y-\left( x+2 \right) \right]=\lim\limits_{x\to -\infty }\dfrac{-1}{x-3}=0 \\ \end{align}\)
Vậy \(y=x+2\) là tiệm cận xiên của đồ thị
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\left( x+2-\dfrac{1}{x-3} \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to {{3}^{+}}}\left( x+2-\dfrac{1}{x-3} \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Vậy \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\left( x+2-\dfrac{1}{x-3} \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to -\infty }\left( x+2-\dfrac{1}{x-3} \right)=-\infty \\ \end{align}\)
Nên hàm số không có tiệm cận ngang.
d)
TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to +\infty }\left( y-\dfrac{x}{2} \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\left( \dfrac{-7x+8}{4x+2} \right)=-\dfrac{7}{4} \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to +\infty }\left[ y-\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{7}{4} \right) \right]=0 \\ & \lim\limits_{x\to -\infty }\left( y-\dfrac{x}{2} \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\left( \dfrac{-7x+8}{4x+2} \right)=-\dfrac{7}{4} \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to -\infty }\left[ y-\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{7}{4} \right) \right]=0 \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{7}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{\frac{1}{2}}^{-}}}\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{7x-8}{4x+2} \right)=-\infty \\ & \lim\limits_{x\to -{{\frac{1}{2}}^{+}}}\left( \dfrac{x}{2}-\dfrac{7x-8}{4x+2} \right)=+\infty \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(x=-\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
e)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\)
Ta có:
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\dfrac{x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\infty \\ & \lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\dfrac{x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=+\infty \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(x=1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\dfrac{x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\dfrac{x+2}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=-\infty \\ \end{align}\)
Vậy đường thẳng \(x=-1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
f)
TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}\)
\(\begin{align} & \lim\limits_{x\to -{{1}^{-}}}\dfrac{x}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to -{{1}^{+}}}\dfrac{x}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}=-\infty \\ \end{align}\)