Giải bài 49 trang 49 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

\(y=\dfrac{x-2}{2x+1}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Lời giải:

TXĐ: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}\)

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(y=\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\lim\limits_{x\to {{\frac{1}{2}}^{-}}}\,y=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\frac{1}{2}}^{+}}}\,y=-\infty \)

Vậy \(x=\dfrac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị

Biến thiên:

\(y'=\dfrac{5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x\)

Hàm số luôn đồng biến trên hai khoảng \(\left( -\infty ;-\dfrac{1}{2} \right)\) và \(\left( -\dfrac{1}{2};+\infty \right)\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại \( \left( 0;-2 \right)\) và cắt Ox tại \(\left( 2;0 \right)\)

Giao điểm I của hai đường tiệm cận là: \( I\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2} \right)\)

Công thức chuyển hệ tọa độ tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{OI}\) là \(\left\{ \begin{aligned} & x=X-\dfrac{1}{2} \\ & y=Y+\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right.\)

Phương trình của đồ thị hàm số trong hệ tọa độ IXY là:

\(Y+\dfrac{1}{2}=\dfrac{X-\dfrac{1}{2}-2}{2\left( X-\dfrac{1}{2} \right)+1}\Leftrightarrow Y=-\dfrac{5}{4X}\)

Vì hàm số \(Y=-\dfrac{5}{4X}\) là hàm lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.

Ghi nhớ:
Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ