Giải bài 52 trang 50 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có: \(y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}=x-2+\dfrac{4}{x-1}\)

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-x+2 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{4}{x-1}=0\) nên \(y=x-2\) là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

\(\begin{aligned} & y'=1-\dfrac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=2 \\ & x-1=-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=-1\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-1);(3;+\infty)\) và nghịch biến trên các khoảng \((-1;1);(1;3)\)

Hàm số đạt cực đại tại \((-1;-5)\) và đạt cực tiểu tại \((3;3)\)

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((3;3)\) và giao Oy tại điểm (\(0;-6).\)

Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) là tâm đối xứng

b)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có: \(y=\dfrac{-2x^2+x-1}{x-1}=-2x-1-\dfrac{2}{x-1}\)

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=-\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y+2x+1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-2}{x-1}=0\) nên \(y=-2x-1\) là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

\(\begin{aligned} & y'=-2+\dfrac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{-2\left( x-1 \right)}^{2}}+2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & x-1=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=0\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((0;1);(1;2)\) nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;0) (1;+\infty)\)

Hàm số đạt cực đại tại \((2;-7) \) và đạt cực tiểu tại \((0;1)\)

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm \((-1;2)\) và giao Oy tại điểm (\(0;1).\)

Đồ thị nhận điểm \(I(1;-3)\) là tâm đối xứng

c)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)

Ta có: \(y=\dfrac{2x^2+3x-3}{x+2}=2x-1-\dfrac{1}{x+2}\)

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to {{-2}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to {{-2}^{+}}}\,y=-\infty\) nên \(x=-2\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-2x+1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{x+2}=0\) nên \(y=2x-1\) là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

\(y'=2+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}> 0\forall x\in D\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;-2);(-2;+\infty)\)

Hàm số không có cực trị 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao Oy tại điểm \(\left(0;-\dfrac 3 2\right)\)

Đồ thị nhận điểm \(I(-2;-5)\) là tâm đối xứng

d)

TXĐ: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Giới hạn:

\(\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty\) nên \(x=1\) là tiệm cận đứng

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y+x-2 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{x-1}=0\) nên \(y=-x+2\) là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

\(y'=-1-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}< 0\forall x\in D\)

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;1);(1;+\infty)\)

Hàm số không có cực trị 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao Oy tại điểm \(\left(0;1\right)\)

Đồ thị nhận điểm \(I(1;1)\) là tâm đối xứng

Ghi nhớ:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

- Tìm TXĐ:

- Tìm các giới hạn và tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số.

- Tìm đạo hàm và các điểm tại đó đạo hàm bằng 0.

- Lập bảng biến thiên

- Tìm giao điểm với Ox, Oy.

- Vẽ đồ thị hàm số.