Giải bài 5 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12

Cho hàm số \(y=2{{x}^{2}}+2mx+m-1\) có đồ thị là \((C_m),\,m\) là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi \(m=1\).

b) Xác định \(m\) để hàm số:

i) Đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\).

ii) Có cực trị trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\).

c) Chứng minh rằng \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Lời giải:

a) Với \(m=1\) ta có \(y=2{{x}^{2}}+2x\)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=4x+2;\,y'=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2} \)

Hàm số đồng biến trên \(\left(\dfrac{-1}{2};\,+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\,\dfrac{-1}{2}\right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\dfrac{-1}{2},\,y_{CT}=\dfrac{-1}{2}\)

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( 2{{x}^{2}}+2x \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left[ {{x}^{2}}\left( 2+\dfrac{2}{x} \right) \right]=+\infty\)

+Bảng biến thiên

* Đồ thị

b) Ta có \(y'=4x+2m;\\y'=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{m}{2}\)

Bảng biến thiên

i) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\) khi và chỉ khi \( -\dfrac{m}{2}\le -1\Leftrightarrow m\ge 2\).

ii) Hàm số có cực trị trên khoảng \(\left( -1;\,+\infty \right)\) khi và chỉ khi \(-\dfrac{m}{2}>-1\Leftrightarrow m<2\).

c) Phương trình hoành độ giao điểm của \((C_m)\) và trục hoành có dạng

\(2{{x}^{2}}+2mx+m-1=0 \\ \Delta '={{m}^{2}}-2m+2 \\\,\,\,\,\,\,={{\left( m-1 \right)}^{2}}+1>0,\,\forall m\in \mathbb{R} \)

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy \((C_m)\) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Ghi nhớ: Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
* Tập xác định
Tìm tập xác định của hàm số
- Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính đạo hàm \(y'\)
+ Tìm các điểm đó đạo hàm \(y'=0\) hoặc không xác định
+ Xét dấu đạo hàm \(y'\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
- Tìm cực trị
- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)
- Lập bảng biến thiên (ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)
* Đồ thị

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập chương 1 Giải tích 12 cơ bản

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ