Giải bài 9 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(f"(x)=0.\)

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình \({{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+3=m\).

Lời giải:

Gợi ý:
c) Biện luận dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \)

a) \(f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(f'\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x=2x\left( {{x}^{2}}-3 \right) \\ f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{3} \\ \end{align} \right. \)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;\,-\sqrt{3}\right)\) và \((0;\,\sqrt{3})\)

Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\sqrt{3};\,0)\) và \(\left(\sqrt{3};\,+\infty\right)\)

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=\pm\sqrt{3};\,y_{CT}=-3\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x=0;\,y_{CĐ}=\dfrac{3}{2}\).

+) Giới hạn tại vô cực

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( \dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty\)

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Oy tại điểm \((0;\,1)\)

b) Ta có

\(f'\left( x \right)=2{{x}^{3}}-6x\Rightarrow f''\left( x \right)=6{{x}^{2}}-6 \\ f''\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1 \)

Với \(x=1\Rightarrow f'\left( 1 \right)=-4;\,f\left( 1 \right)=-1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=1\) là: \(y=-4\left( x-1 \right)-1=-4x+3\)

Với \(x=-1\Rightarrow f'\left( -1 \right)=4;\,f\left( -1 \right)=-1\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=-1\) là: \(y=4\left( x+1 \right)-1=4x+3\)

c) \({{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+3=m\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{m}{2}\)

Số nghiệm của của phương trình là số giao điểm của đồ thị các hàm số \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+\dfrac{3}{2} \) và \(y=\dfrac{m}{2}\)

Từ đồ thị ta có

+ \(\dfrac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m<-6 \): phương trình vô nghiệm

+ \(\dfrac{m}{2}=-3\Leftrightarrow m=-6\): phương trình có hai nghiệm

+ \(-3<\dfrac{m}{2}<\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow -6< m< 3\): phương trình có bốn nghiệm

+ \(\dfrac{m}{2}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow m=3\): phương trình có ba nghiệm

+ \(\dfrac{m}{2}>\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow m>3\): phương trình có hai nghiệm

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập chương 1 Giải tích 12 cơ bản

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ