Giải bài 75 trang 62 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=x^4-(m+1)x^2+m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m=2\).
b) Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
a)
Với \(m = 2\), ta có hàm số: \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+2\)
Giới hạn: \(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,y=+\infty \)
Biến thiên:
\(\begin{aligned} & y'=4{{x}^{3}}-6x \\ & y'=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\dfrac{3}{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\sqrt{\dfrac{3}{2}};0 \right)\) và \(\left( \sqrt{\dfrac{3}{2}};+\infty \right)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right) \) và \( \left( 0;\sqrt{\dfrac{3}{2}} \right)\)
Đồ thị
Hàm số cắt Ox tại \(\left( \sqrt{2};0 \right);\left( -\sqrt{2};0 \right), (1;0)\) và \((-1; 0)\) cắt Oy tại \((2;0)\)
Hàm số là hàm chẵn nên nhận Oy là trục đối xứng
b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình \({x}^{4}-\left( m+1 \right){{x}^{2}}+m=0\Leftrightarrow \left[\begin{align} & {{x}^{2}}=1 \\ & {{x}^{2}}=m \\ \end{align}\right.\)
(C) giao Ox tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi với \(m > 0\) và \(m\ne 1\)
Khi đó (1) có 4 nghiệm \(x=-1,x=1,x=\sqrt{m},x=-\sqrt{m}\)
Nếu \(0< m < 1\), ta có: \(-1<-\sqrt{m}<\sqrt{m}<1\)
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi
\(\begin{aligned} & 1-\sqrt{m}=\sqrt{m}-\left( -\sqrt{m} \right) \\ & \Leftrightarrow 3\sqrt{m}=1 \\ & \Leftrightarrow m=\dfrac{1}{9} \\ \end{aligned}\)
Nếu \(m > 1\), ta có: \(-\sqrt{m}<-1<1<\sqrt{m}\)
(C) cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi