Giải bài 77 trang 63 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao
Cho hàm số
\(y=\dfrac{x-4m}{2(mx-1)}\)
có đồ thị là (\(H_m\))
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = 1\)
b) Chứng minh rằng với mọi \(m\ne \pm\dfrac 1 2\), các đường cong (\(H_m\)) đều đi qua hai điểm cố định A và B
c) Chứng minh rằng tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với (\(H_m\)) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên
a)
Với \(m = 1\) ta có hàm số:
TXĐ: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Giới hạn:
Vậy \(y = \dfrac 1 2\) là tiệm cận ngang
Vậy \(x=1\) là tiệm cận đứng
Biến thiên:
Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;1 \right) \) và \( \left( 1;+\infty \right)\)
Đồ thị:
Hàm số giao Ox tại (4;0) và giao Oy tại (0;2)
b)
Gọi điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua. Ta có:
\(\begin{aligned} & {{y}_{0}}=\dfrac{{{x}_{0}}-4m}{2\left( m{{x}_{0}}-1 \right)}\,\,\,\,\left( \text{Điều kiện}\,mx_0\ne 1 \right) \\ & \Rightarrow 2{{y}_{0}}\left( m{{x}_{0}}-1 \right)={{x}_{0}}-4m \\ & \Leftrightarrow 2{{y}_{0}}{{x}_{0}}m-2{{y}_{0}}-{{x}_{0}}+4m=0 \\ & \Leftrightarrow m\left( 2{{y}_{0}}{{x}_{0}}+4 \right)-2{{y}_{0}}-{{x}_{0}}=0 \\ \end{aligned}\)
Phương trình có nghiệm đúng với mọi \(m\ne \pm \dfrac{1}{2}\) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
\(\left\{ \begin{aligned} & 2{{x}_{0}}{{y}_{0}}+4=0 \\ & {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{0}}=-2{{y}_{0}} \\ & -4{{y}_{0}}.{{y}_{0}}+4=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{y}_{0}}=1 \\ & {{x}_{0}}=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{y}_{0}}=-1 \\ & {{x}_{0}}=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.\)
Vậy \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left\{ \left( 2;-1 \right);\left( -2;1 \right) \right\}\)
Khi đó, ta có: \(m{{x}_{0}}-1\ne 0\)
Vậy đường cong (\(H_m\)) với \(m\ne \pm \dfrac{1}{2}\) đều đi qua hai điểm cố định \(A(2;-1)\) và \(B(-2;1)\)
c)
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A là \( y'\left( 2 \right),\) tại B là \( y'\left( -2 \right)\)
Ta có:
Vậy tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với (\(H_m\)) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên