Giải bài 9 trang 26 – SGK môn Hình học lớp 12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^o\). Gọi M là trung điểm SC.Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

Lời giải:

Hướng dẫn:
Áp dụng kết quả bài tập 4 trang 25: \(\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\).
Lưu ý:
Kết quả chỉ đúng với tứ diện (hình chóp tam giác) không đúng với hình chóp tứ giác nên ta chia hình chóp tứ giác thành 2 hình chóp tam giác rồi áp dụng kết quả trên.

Gọi H là tâm hình vuông ABCD, I là giao điểm của SH và AM thì EF qua I và song song với BD.

Vì I là trọng tâm tam giác SAC nên \(\dfrac{SI}{SH}=\dfrac{2}{3}\).

Ta có \(\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{SF}{SD}=\dfrac{SI}{SH}=\dfrac{2}{3} \)

\(\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SAEF}}}{{{V}_{SABD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}.\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9} \\ \dfrac{{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SDBC}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SM}{SC}.\dfrac{SF}{SD}.\dfrac{SE}{SB}=\dfrac{1}{9} \\ \Rightarrow \dfrac{{{V}_{SAEMF}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{{{V}_{SAEF}}+{{V}_{SEFM}}}{{{V}_{SABCD}}}=\dfrac{1}{3} \)

Lại có \(AH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Trong tam giác vuông SAH có

\(SH=AH.\tan {{60}^{o}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\sqrt{3}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

Thể tích khối chóp SABDC là

\({{V}_{SACBD}}=\dfrac{1}{3}.{{a}^{2}}.\dfrac{a\sqrt{6}}{2}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6} \\ \Rightarrow {{V}_{SAEMF}}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{6}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18} \)

Bài trước Bài sau

Lớp 12

Ôn tập chương 1 hình học 12

Lớp 12

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị Địa Lý Việt Nam Chương 1: Este - Lipit Chương 1: Dao động cơ Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 1: Khối đa diện Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá Chương 1: Động lực học vật rắn Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 Địa Lý Tự Nhiên Chương 2: Cacbohiđrat Chương 2: Sóng cơ và sóng âm Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất Chương 2: Quần xã sinh vật Chương 2: Dao động cơ Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 Địa Lý Dân Cư Chương 3: Amin, Amino axit và protein Chương 3: Dòng điện xoay chiều Chương 3: Di truyền học quần thể Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường Chương 3: Sóng cơ Chương 4: Số phức Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Số phức Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 Địa Lý Kinh Tế Chương 4: Polime và vật liệu polime Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 4: Ứng dụng di truyền học Chương 4: Số phức Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) Chương 4: Dao động và sóng điện từ Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) Chương 5: Dòng điện xoay chiều Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 Địa Lý Địa Phương Chương 5: Đại cương về kim loại Chương 5: Sóng ánh sáng Chương 5: Di truyền học người Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa Chương 6: Sóng ánh sáng Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm Chương 6: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Lượng tử ánh sáng Chương 7: Crom - Sắt - Đồng Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng Chương 7: Hạt nhân nguyên tử Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô Chương 9: Hạt nhân nguyên tử Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô

+ Mở rộng xem đầy đủ