1. Nguyên hàm và tính chất
1.1. Nguyên hàm
Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên \(K\).
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x)=f(x)\) với mọi \(x\in K\).
Định lí 1
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì với mỗi hằng số \(C\), hàm số \(G(x)=F(x)+C\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\).
Định lí 2
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì mọi nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) đều có dạng \(F(x)+C\), với C là một hằng số.
Kết luận
Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì \(F(x)+C\), \(C\in R\) là họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\).
Kí hiệu
\(\int f(x)dx= F(x)+C\)
Chú ý
Biểu thức \(f(x)dx\) chính là vi phân của nguyên hàm \(F(x)\) của \(f(x)\).
1.2. Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1
\(\int f'(x)dx= f(x)+C\)
Tính chất 2
\(\int kf(x)dx=k\int f(x)dx\)
Tính chất 3
\(\int [f(x)\pm g(x)]dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
1.3. Sự tồn tại nguyên hàm
Định lí 3
Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(K\) đều có nguyên hàm trên \(K\).
1.4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
\(\int 0dx=C\)
\(\int dx=x+C\)
\(\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C ( \alpha\neq-1)\)
\(\int \frac{1}{x}dx= ln\mid x\mid +C\)
\(\int e^x dx= e^x+C\)
\(\int a^x dx=\frac{a^x}{ln a}+C(a>0,a\neq1)\)
\(\int cosx dx=sinx +C\)
\(\int sinxdx=-cos x+C\)
\(\int\frac{1}{cos^2x}dx=tanx +C\)
\(\int\frac{1}{sin^2x}dx=-cotx +C\)
2. Phương pháp tính nguyên hàm
2.1. Phương pháp đổi biến số
Định lí 1
Nếu \(\int f(u)du= F(x)+C\) và \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm liên tục thì \(\int f(u(x))u'(x)dx=F(u(x))+C\)
Hệ quả
Với \(x=ax+b\) \((a\neq0)\), ta có
\(\int f(ax+b)dx= \frac{1}{a}F(ax+b)+C\)
2.2. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Định lí 2
Nếu hai hàm số \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(K\) thì
\(\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\)
Chú ý
Vì \(v'(x)dx=dv\), \(u'(x)dx=du\), nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng \(\int udv=uv-\int vdu\). Đó là công thức tính nguyên hàm từng phần.
Mục lục Lớp 12 theo chương
•Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12
•Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12
•Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học
•Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12
•Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá
•Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12
•Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12
•Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học
•Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12
•Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá
•Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12
•Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12
•Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12
•Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12
•Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 4: Số phức - Giải tích 12
•Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học
•Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học
•Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
