1. Khái niệm tích phân
Định nghĩa
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \([a;b]\).
Hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân từ \(a\) đến \(b\) (hay tích phân xác định trên đoạn \([a;b]\) của hàm số \(f(x)\) ).
Kí hiệu là : I=\(\int_a^b f(x)dx\)
Vậy \(\int_a^b f(x)dx =F(x)\mid_a^b= F(b)-F(a)\)
Ta gọi \(\int_a ^b\) là dấu tích phân, \(a\) là cận dưới, \(b\) là cận trên, \(f(x)dx\) là biểu thức dưới dấu tích phân, \(f(x)\) là hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý
Trong trường hợp \(a=b\) hoặc \(a>b\), ta quy ước
\(\int_a^a f(x)dx=0\), \(\int _a^b f(x)dx= -\int _b^a f(x)dx\)
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số \(f(x)\) liên tục và không âm trên đoạn \([a;b]\), thì tích phân \(\int_a^bf(x)dx\) là diện tích \(S\) của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của \(f(x)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x=a, x=b\). Vậy
\(S=\int_a^bf(x)dx\)
2. Tính chất của tích phân
Tính chất 1
\(\int_a^b kf(x)dx=k\int_a^bf(x)dx\)
Tính chất 2
\(\int_a^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^bg(x)dx\)
Tính chất 3
\(\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx\) \((a < c< b)\)
3. Phương pháp tính tích phân
3.1. Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x=u(t)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([\alpha; \beta]\) sao cho \(u(\alpha)=a, u(\beta)=b\) và \(a\leq u(t) \leq b\) với mọi \(t \in [\alpha; \beta]\).
Khi đó \(\int_a^bf(x)dx= \int_\alpha ^\beta f(u(t))u'(t)dt\)
3.2. Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí
Nếu \(u=u(x)\) và \(v=v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn \([a;b]\), thì :
\(\int_a^b u(x)v'(x)dx=(u(x)v(x))\mid_a^b -\int_a^bu'(x)v(x)dx\)
hay \(\int_a^b udv=uv\mid_a^b-\int_a^bvdu\)
Mục lục Lớp 12 theo chương
•Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Bài tập Giải tích 12
•Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12
•Chương 1: Việt Nam từ năm 1919 đến năm 1930 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Chương 1: Cơ chế di truyền và biến dị - Phần 5: Di truyền học
•Địa Lý Việt Nam - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 1: Este - Lipit - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 1: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12
•Chương 1: Sự hình thành trật tự thế giới mới sau chiến tranh thế giới thứ hai (1945-1949) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 1: Bằng chứng và cơ chế tiến hoá - Phần 6: Tiến hoá
•Chương 1: Động lực học vật rắn - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 1: Cá thể và quần thể sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit - Bài tập Giải tích 12
•Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12
•Chương 2: Việt Nam từ năm 1930 đến năm 1945 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Tự Nhiên - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 2: Cacbohiđrat - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 2: Sóng cơ và sóng âm - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 2: Tính quy luật của hiện tượng di truyền - Phần 5: Di truyền học
•Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 2: Liên Xô và các nước Đông Âu (1945-1991), Liên Bang Nga (1991-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12
•Chương 2: Sự phát sinh và phát triển của sự sống trên Trái Đất - Phần 6: Tiến hoá
•Chương 2: Quần xã sinh vật - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 2: Dao động cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Bài tập Giải tích 12
•Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12
•Chương 3: Việt Nam từ năm 1945 đến năm 1954 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Dân Cư - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 3: Amin, Amino axit và protein - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 3: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 3: Di truyền học quần thể - Phần 5: Di truyền học
•Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 3: Các nước Á, Phi và Mĩ Latinh (1945-2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12
•Chương 3: Hệ sinh thái, sinh quyển và bảo vệ môi trường - Phần 7: Sinh thái học
•Chương 3: Sóng cơ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 4: Số phức - Bài tập Giải tích 12
•Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 4: Số phức - Giải tích 12
•Chương 4: Việt Nam từ năm 1954 đến năm 1975 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Kinh Tế - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 4: Polime và vật liệu polime - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 4: Ứng dụng di truyền học - Phần 5: Di truyền học
•Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)
•Chương 4: Mĩ, Tây Âu, Nhật Bản (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 4: Dao động và sóng điện từ - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 5: Quan hệ quốc tế (1945 - 2000) - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 5: Dòng điện xoay chiều - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 5: Việt Nam từ năm 1975 đến năm 2000 - Phần 2: Lịch sử Việt Nam từ 1919 - 1920
•Địa Lý Địa Phương - Giải bài tập SGK Địa lý 12
•Chương 5: Đại cương về kim loại - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 5: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 5: Di truyền học người - Phần 5: Di truyền học
•Chương 6: Cách mạng khoa học - công nghệ và xu thế toàn cầu hóa - Phần 1: Lịch sử thế giới hiện đại từ năm 1945 - 2000
•Chương 6: Sóng ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 6: Kim loại kiềm, kim loại kiềm thổ, nhôm - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 6: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 7: Lượng tử ánh sáng - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 7: Crom - Sắt - Đồng - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 7: Sắt và một số kim loại quan trọng - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 7: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 8: Sơ lược về Thuyết tương đối hẹp - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ. Chuẩn độ dung dịch - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 8: Phân biệt một số chất vô cơ - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 8: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12
•Chương 9: Hạt nhân nguyên tử - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
•Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12 nâng cao
•Chương 9: Hóa học và vấn đề phát triển kinh tế, xã hội, môi trường - Giải bài tập SGK Hóa học 12
•Chương 10: Từ vi mô đến vĩ mô - Giải bài tập SGK Vật lý 12 nâng cao
