Giải bài 70 trang 88 - SGK Toán lớp 7 Tập 2
Cho \(A, \,B\) là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB.\)
a) Ta kí hiệu \(P_A\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm \(A\) (không kể đường thẳng d). Gọi \(N\) là một điểm của \(P_A\) và \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(NB\) và d. Hãy so sánh \(NB\) với \(NM + MA;\) từ đó suy ra \(NA < NB.\)
b) Ta kí hiệu \(P_B\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm \(B\) (không kể d). Gọi \(N'\) là một điểm của \(P_B.\) Chứng minh \(N'B < N'A.\)
c) Gọi \(L\) là một điểm sao cho \(LA < LB.\) Hỏi điểm \(L\) nằm ở đâu, trong \(P_A,\, P_B\) hay trên d?
Hướng dẫn:
Dựa vào bất đẳng thức tam giác.
Bài giải:
a)
- Ta có \(M\) nằm trên đường trung trực của \(AB\) nên \(MA = MB.\)
Vì \(M\) nằm giữa đoạn \(NB\) nên:
\(NB = NM + MB \) hay \(NB = NM + MA\) (vì \(MB = MA\))
Vậy \(NB = NM + MA\)
- Trong \(ΔNMA\) có: \(NA < NM + MA\)
Vì \(NM + MA = NB\) nên \(NA < NB\) (đpcm).
b) Nối \(N'A\) cắt (d) tại \(P.\) Vì \(P\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(AB\) nên: \(PA = PB\)
Ta có: \(N'A = N'P + PA = N'P + PB\)
Trong \(ΔN'PB\) ta có: \(N'B < N'P + PB\)
Do đó: \(N'B < N'A\) (đpcm)
c)
- Vì \(LA < LB\) nên \(L\) không thuộc đường trung trực d.
- Từ câu b) ta suy ra với điểm \(N'\) bất kì thuộc \(P_B\) thì ta có \(N'B < N'A.\) Do đó, để \(LA < LB\) thì \(L\) không thuộc \(P_B.\)
- Từ câu a) ta suy ra với điểm \(N\) bất kì thuộc \(P_A\) thì ta có \(NA < NB.\) Do đó, để \(LA < LB\) thì \(L\) thuộc \(P_A.\)